Achar os extremos das funções:
y=x raiz1-x(x <= 1). Resp. ymax =23 raiz13 para x=23.

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos da função
y = xraiz1 - x, x <= 1
Isso envolve cálculo de derivada, determinação de pontos críticos e análise de monotonia para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Antes de derivar, note que a raiz exige 1 - x >= 0, logo
domínio: x in (-infty,,1] í

Passo 3

Vamos calcular y' usando regra do produto e cadeia. Escrevendo
y = x,(1 - x)^1/2,
temos
y' = 1cdot(1 - x)^1/2 + xcdot12(1 - x)^-1/2cdot(-1) = 2(1 - x) - x2raiz1 - x = 2 - 3x2raiz1 - x
O numerador zera quando 2 - 3x = 0, ou seja
x = 23

Passo 4

Para classificar, note que raiz1 - x>0 no domínio. Assim:
  • Se x<tfrac23, então 2-3x>0 e y'>0 (função crescente).
  • Se tfrac23<x<1, então 2-3x<0 e y'<0 (função decrescente).
Logo x=tfrac23 é ponto de máximo.

Passo 5

O valor máximo é
yl(tfrac23r) = 23,raiz1 - 23 = 23,raiz13 = 23raiz3
Não há mínimo finito pois, quando xto -infty,
y = xraiz1 - xsim xraiz-xto -infty

Resposta

O máximo vale
ymax = 23,raiz13
ocorrendo em x=23.

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