Achar os extremos das funções:
y=(x-2)^3(2 x+1). Resp ymin approx-8,24 para x=18.

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos da função
y = (x-2)^3(2x+1)
O conteúdo envolvido é o teste de extremos usando a derivada: vamos calcular y', encontrar os pontos críticos onde y'=0, avaliar y nesses pontos e analisar o sinal de y' para classificar mínimo ou máximo.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto em
y = ucdot v, u=(x-2)^3,;v=2x+1
Então
y' = u'v + uv' = 3(x-2)^2cdot(2x+1) + (x-2)^3cdot2

Passo 3

Fatoramos y' para simplificar a busca dos zeros:
y' = (x-2)^2l[3(2x+1) + 2(x-2)r] = (x-2)^2l(6x+3 + 2x-4r) = (x-2)^2(8x-1)

Passo 4

Os pontos críticos vêm de
(x-2)^2(8x-1)=0 Longrightarrow x=2(mu<iplicidade 2) ou x=tfrac18
Calculamos os valores:
y(2)=0, yl(tfrac18r) =l(tfrac18-2r)^3l(2cdottfrac18+1r) =l(-tfrac158r)^3cdottfrac54 =-tfrac168752048approx -8,24

Passo 5

Para classificar, observamos o sinal de y':
  • Para x<tfrac18, temos 8x-1<0 e (x-2)^2>0, logo y'<0.
  • Para tfrac18<x<2, 8x-1>0 e (x-2)^2>0, logo y'>0.
    Isso mostra mudança de sinal de negativo para positivo em x=tfrac18, caracterizando um mínimo local.
    Em x=2, y' é positivo tanto à esquerda quanto à direita, não havendo mudança de sinal, logo x=2 não é extremo.

Resposta

O único extremo é um mínimo local em
x = tfrac18, yminapprox -8,24

Exercícios de Livros Relacionados