Achar \frac{d^{2} y}{d x^{2}} das seguintes funções:
\left\{ \begin{array}{l} x=a \cos t \\ y=a \operatorname{sen} t\end{array} \right.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x = a\cos t, \quad y = a\operatorname{sen} t
e pede a segunda derivada \frac{d^2y}{dx^2}.
O conteúdo usado aqui é diferenciação de funções dadas em forma paramétrica: primeiro achamos \frac{dy}{dx} via \frac{dy/dt}{dx/dt} e depois aplicamos a fórmula
\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{\displaystyle\frac{d}{dt}\bigl(\frac{dy}{dx}\bigr)}{\displaystyle\frac{dx}{dt}}\,.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
\frac{dy}{dt} = a\cos t, \quad \frac{dx}{dt} = -a\operatorname{sen} t.

Passo 3

A primeira derivada de y em relação a x é
\frac{dy}{dx} =\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} =\frac{a\cos t}{-a\operatorname{sen} t} =-\frac{\cos t}{\operatorname{sen} t} =-\cot t.

Passo 4

Derivamos -\cot t em relação a t:
\frac{d}{dt}\bigl(-\cot t\bigr) =\csc^2 t.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da segunda derivada paramétrica:
\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{\displaystyle\frac{d}{dt}\bigl(\frac{dy}{dx}\bigr)}{\displaystyle\frac{dx}{dt}} =\frac{\csc^2 t}{-a\operatorname{sen} t} =-\frac{1}{a\,\operatorname{sen}^3 t}.

Resposta

\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{a\,\operatorname{sen}^3 t}.

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