Encontre a fórmula de Taylor de cada função, no ponto
indicado, até os termos de terceira ordem.
.
Passo 1
O enunciado pede para obter o polinômio de Taylor de ordem até três de
em torno do ponto
em torno do ponto
O tema é expansão de Taylor de função de duas variáveis, e vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira, segunda e terceira ordem em
, além de usar a forma geral do polinômio de Taylor em termos dos incrementos
Passo 2
Vamos começar pelas derivadas de primeira ordem e o valor da função em
.
O valor da função em
é
As derivadas parciais primeiro são
Em
temos
Logo o termo de primeira ordem é
Passo 3
Agora as derivadas de segunda ordem:
Em
resulta
O termo quadrático do polinômio de Taylor é
Passo 4
As derivadas de terceira ordem que não são zero são apenas
enquanto
O termo cúbico do polinômio de Taylor em duas variáveis é
Passo 5
Juntando tudo, o polinômio de Taylor de ordem até três fica em função de
como
Substituindo de volta
e
, temos a expansão desejada.