Encontre a fórmula de Taylor de cada função, no ponto P0 indicado, até os termos de terceira ordem.
f(x, y)=x-3 x^2 y+2 y^2, P0=(1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para obter o polinômio de Taylor de ordem até três de
f(x,y)=x-3x^2y+2y^2
em torno do ponto
P0=(1,-1)
O tema é expansão de Taylor de função de duas variáveis, e vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira, segunda e terceira ordem em P0, além de usar a forma geral do polinômio de Taylor em termos dos incrementos
h = x-1, k = y+1

Passo 2

Vamos começar pelas derivadas de primeira ordem e o valor da função em P0.
O valor da função em P0 é
f(1,-1)=1 -3cdot1^2cdot(-1)+2cdot(-1)^2=1+3+2=6
As derivadas parciais primeiro são
fx(x,y)=partialpartial xl(x-3x^2y+2y^2r)=1-6xy,
fy(x,y)=partialpartial yl(x-3x^2y+2y^2r)=-3x^2+4y
Em P0 temos
fx(1,-1)=1-6cdot1cdot(-1)=7, fy(1,-1)=-3cdot1^2+4cdot(-1)=-7
Logo o termo de primeira ordem é
fx(1,-1),h + fy(1,-1),k =7h -7k

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem:
fxx(x,y)=partialpartial x(1-6xy)=-6y,
fxy(x,y)=partialpartial y(1-6xy)=-6x,
fyy(x,y)=partialpartial y(-3x^2+4y)=4
Em P0 resulta
fxx(1,-1)=6, fxy(1,-1)=-6, fyy(1,-1)=4
O termo quadrático do polinômio de Taylor é
12l(fxx,h^2+2fxy,h k+fyy,k^2r) =12l(6h^2-12hk+4k^2r) =3h^2-6hk+2k^2

Passo 4

As derivadas de terceira ordem que não são zero são apenas
fxxy(x,y)=partialpartial y(-6y)=-6,
enquanto
fxxx=0, fxyy=0, fyyy=0
O termo cúbico do polinômio de Taylor em duas variáveis é
16l(fxxxh^3+3fxxyh^2k+3fxyyh k^2+fyyyk^3r) =16l(3cdot(-6),h^2kr) =-3,h^2k

Passo 5

Juntando tudo, o polinômio de Taylor de ordem até três fica em função de
h=x-1, k=y+1
como
T3(x,y)=6 +(7h-7k) +(3h^2-6hk+2k^2) -3h^2k
Substituindo de volta h=x-1 e k=y+1, temos a expansão desejada.

Resposta

boxedT3(x,y)=6+7(x-1)-7(y+1)+3(x-1)^2-6(x-1)(y+1)+2(y+1)^2-3(x-1)^2(y+1)

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