Encontre a fórmula de Taylor de cada função, no ponto P0 indicado, até os termos de terceira ordem.
f(x, y)=ln (1+x y), P0=(1,2).

Passo 1

Estamos procurando o polinômio de Taylor de ordem até três de
f(x,y)=lnl(1+xyr)
ao redor do ponto P0=(1,2).
Para isso vamos usar a fórmula de Taylor em duas variáveis, que diz que, com u=x-1 e v=y-2,
T3(x,y)=f(P0) +sumi+j=11i!j!fx^,iy^,j(P0),u^iv^j +sumi+j=21i!j!fx^,iy^,j(P0),u^iv^j +sumi+j=31i!j!fx^,iy^,j(P0),u^iv^j

Passo 2

Definimos
u = x-1, v = y-2,
e calculamos o valor da função em P0:
f(1,2)=lnl(1+1cdot2r)=ln(3)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem em termos de s=1+xy:
fx=partialpartial xln(s)=ys, fy=xs

Passo 4

Agora as derivadas de segunda ordem:
fxx=-y^2s^2, fxy=fyx=1s^2, fyy=-x^2s^2

Passo 5

E as derivadas de terceira ordem:
fxxx=2,y^3s^3, fxxy=fxyx=-2,ys^3, fxyy=fyyx=-2,xs^3, fyyy=2,x^3s^3

Passo 6

Avaliamos todas as derivadas em P0, onde x=1, y=2 e s=3:
f(1,2)=ln(3), fx(1,2)=tfrac23, fy(1,2)=tfrac13,
fxx(1,2)=-tfrac49, fxy(1,2)=tfrac19, fyy(1,2)=-tfrac19,
fxxx(1,2)=tfrac1627, fxxy(1,2)=-tfrac427, fxyy(1,2)=-tfrac227, fyyy(1,2)=tfrac227

Passo 7

Substituindo na fórmula de Taylor até ordem três e simplificando coeficientes, obtemos:
T3(x,y)&=ln(3) +23u+13v +12l(-tfrac49u^2+2cdottfrac19uv-tfrac19v^2r) &+16l(tfrac1627u^3 +3cdotl(-tfrac427r)u^2v +3cdotl(-tfrac227r)u v^2 +tfrac227v^3r) &=ln(3) +23u+13v -29u^2+19uv-118v^2 &+881u^3-227u^2v-127u v^2+181v^3,
lembrando que u=x-1 e v=y-2.

Resposta

T3(x,y)=ln(3) +23(x-1)+13(y-2) -29(x-1)^2+19(x-1)(y-2)-118(y-2)^2 +881(x-1)^3 -227(x-1)^2(y-2) -127(x-1)(y-2)^2 +181(y-2)^3

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