Ache a fórmula de Taylor referente à origem de cada função até os termos de segunda ordem.
f(x, y)=e^x sen y.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de segunda ordem em torno da origem para a função
f(x,y)=e^xsin y
Para isso vamos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 2 em duas variáveis centrado em (0,0):
P2(x,y)=f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),y +tfrac12l[fxx(0,0),x^2+2,fxy(0,0),x,y+fyy(0,0),y^2r]

Passo 2

Calculamos f e as derivadas de primeira ordem em (0,0).
f(0,0)=e^0sin0=1cdot0=0,
fx(x,y)=partialpartial xl(e^xsin yr)=e^xsin y Longrightarrow fx(0,0)=e^0sin0=0,
fy(x,y)=partialpartial yl(e^xsin yr)=e^xcos y Longrightarrow fy(0,0)=e^0cos0=1

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem em (0,0).
fxx(x,y)=partialpartial xl(e^xsin yr)=e^xsin y ;Longrightarrow;fxx(0,0)=0,
fxy(x,y)=partialpartial yl(e^xsin yr)=e^xcos y ;Longrightarrow;fxy(0,0)=1,
fyy(x,y)=partialpartial yl(e^xcos yr)=-e^xsin y ;Longrightarrow;fyy(0,0)=0

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula de P2:
P2(x,y) =0+0cdot x+1cdot y +tfrac12l[0cdot x^2+2cdot1cdot x,y+0cdot y^2r] =y+tfrac12cdot2,x,y =y+x,y

Resposta

P2(x,y)=y+xy

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