Ache a fórmula de Taylor referente à origem de cada função até os termos de segunda ordem.
f(x, y)=raiz1-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno da origem para a função
f(x,y)=raiz1 - x^2 - y^2
Vamos usar derivadas parciais até a segunda ordem avaliadas em (0,0).

Passo 2

Calcular f(0,0) e o gradiente em (0,0).
f(0,0)=raiz1=1
As derivadas parciais são
fx(x,y)=-x,(1 - x^2 - y^2)^-tfrac12, fy(x,y)=-y,(1 - x^2 - y^2)^-tfrac12,
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fx(0,0)=0, fy(0,0)=0

Passo 3

Calcular as segundas derivadas e avaliá-las em (0,0). Seja r=x^2+y^2.
fxx=partialxl[-x(1-r)^-tfrac12r] =-(1-r)^-tfrac12+x^2(1-r)^-tfrac32,
fyy=-(1-r)^-tfrac12+y^2(1-r)^-tfrac32,
fxy=partialyl[-x(1-r)^-tfrac12r] =-x,y,(1-r)^-tfrac32
Em (0,0) temos
fxx(0,0)=-1, fyy(0,0)=-1, fxy(0,0)=0

Passo 4

Montar o polinômio de Taylor de segunda ordem:
T2(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)x+fy(0,0)y +12l[fxx(0,0)x^2+2fxy(0,0)xy+fyy(0,0)y^2r]
Substituindo os valores:
T2(x,y)=1+12l[(-1)x^2+0+(-1)y^2r] =1-x^2+y^22

Resposta

P2(x,y)=1-x^2+y^22

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