Ache a fórmula de Taylor referente à origem de cada função até os termos de segunda ordem.
f(x, y)=(x+1)^y

Passo 1

Vamos achar o polinômio de Taylor de segunda ordem em torno da origem (0,0) para
f(x,y) = (x+1)^y
Para isso, precisamos de f(0,0), das derivadas parciais de primeira ordem em (0,0) e das de segunda ordem em (0,0).

Passo 2

Calculemos f(0,0) e as derivadas de primeira ordem:
Avaliando em (0,0):
f(0,0) = (0+1)^0 = 1
Derivadas parciais gerais:
fx(x,y) = partialpartial x(x+1)^y = y,(x+1)^y-1,
fy(x,y) = partialpartial y(x+1)^y = (x+1)^yln(x+1)
Avaliando em (0,0):
fx(0,0) = 0cdot1^,-1 = 0, fy(0,0) = 1^0cdotln1 = 0

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem:
fxx(x,y) = partialpartial xl[y,(x+1)^y-1r] = y(y-1)(x+1)^y-2,
fxy(x,y) = partialpartial yl[y,(x+1)^y-1r] = (x+1)^y-1 + y,(x+1)^y-1ln(x+1),
fyy(x,y) = partialpartial yl[(x+1)^yln(x+1)r] = (x+1)^yl[ln(x+1)r]^2
Avaliando todas em (0,0):
fxx(0,0)=0cdot(-1)cdot1^-2=0, fxy(0,0)=1^-1+0=1, fyy(0,0)=1^0cdot0^2=0

Passo 4

A fórmula do polinômio de Taylor de segunda ordem em duas variáveis é
T2(x,y)=f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),y +12l(fxx(0,0),x^2+2fxy(0,0),xy+fyy(0,0),y^2r)

Passo 5

Substituindo os valores encontrados:
T2(x,y) =1+0cdot x+0cdot y +12l(0cdot x^2+2cdot1cdot xy+0cdot y^2r) =1+xy

Resposta

T2(x,y)=1+xy

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