Ache a fórmula de Taylor referente à origem de cada função até os termos de segunda ordem.
f(x, y)=ln (1+x+y)1-x-y.

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de segunda ordem (Maclaurin) de
f(x,y)=ln(1+x+y)1 - x - y
em torno da origem. Para isso vamos usar as expansões em série de Taylor de duas funções conhecidas:
  1. A expansão de ln(1+u) em torno de u=0.
  2. A expansão de tfrac11-v em torno de v=0.
    Depois fazemos o produto e coletamos termos de grau até 2.

Passo 2

Defina u = x+y. A expansão de ln(1+u) até termos de ordem 2 é
ln(1+u) = u ;-;u^22 ;+;Ol(|(x,y)|^3r)

Passo 3

Com v = x+y o mesmo v=u, a expansão de tfrac11-v até segunda ordem é
11-v = 1 + v + v^2 + Ol(|(x,y)|^3r)

Passo 4

Multiplicamos as duas séries, mantendo só termos de grau <=2:
ln(1+u),11-v = l(u - tfracu^22 + O3r),l(1 + v + v^2 + O3r)
Como u=v=x+y, ao expandir vemos que:
  • ucdot1 = u é grau 1.
  • ucdot v = u^2 é grau 2.
  • -tfracu^22cdot1 = -tfracu^22 é grau 2.
    Todos os outros produtos são de grau >=3 e vão para o O3. Logo,
f(x,y) = u + u^2 - tfrac12,u^2 + Ol(|(x,y)|^3r) = u + tfrac12,u^2 + O3

Passo 5

Substituindo u = x+y e expandindo tfrac12,(x+y)^2, obtemos o polinômio de Taylor de segunda ordem:
T2(x,y) = (x+y) ;+;12,(x+y)^2 = x + y + 12,x^2 + x y + 12,y^2

Resposta

T2(x,y) = x + y + 12,x^2 + x y + 12,y^2

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