Ache a fórmula de Taylor referente à origem de cada função até os termos de segunda ordem.
.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de segunda ordem (Maclaurin) de
em torno da origem. Para isso vamos usar as expansões em série de Taylor de duas funções conhecidas:
- A expansão de
em torno de . - A expansão de
em torno de .
Depois fazemos o produto e coletamos termos de grau até 2.
Passo 2
Defina
. A expansão de
até termos de ordem 2 é
Passo 3
Com
o mesmo
, a expansão de
até segunda ordem é
Passo 4
Multiplicamos as duas séries, mantendo só termos de grau
:
Como
, ao expandir vemos que:
-
é grau 1. -
é grau 2. -
é grau 2.
Todos os outros produtos são de graue vão para o . Logo,
Passo 5
Substituindo
e expandindo
, obtemos o polinômio de Taylor de segunda ordem: