Encontre a fórmula de Taylor de cada função, no ponto P0 indicado, até os termos de terceira ordem.
f(x, y)=e^x y, P0=(1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de ordem até três de
f(x,y)=e^xy
em torno de
P0=(1,-1)
Para isso vamos usar a fórmula do polinômio de Taylor de duas variáveis até 3ª ordem, empregando as derivadas parciais de f avaliadas em P0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=e^xy e suas avaliações em (1,-1). Seja h=x-1 e k=y+1.
  1. Valor em P0:
f(1,-1)=e^(1)(-1)=e^-1
  1. Derivadas de primeira ordem:
fx=y,e^xy, fy=x,e^xy
fx(1,-1)=-1cdot e^-1=-e^-1, fy(1,-1)=1cdot e^-1=e^-1
  1. Derivadas de segunda ordem:
fxx=y^2e^xy, fxy=(1+xy)e^xy, fyy=x^2e^xy
fxx(1,-1)=e^-1, fxy(1,-1)=0, fyy(1,-1)=e^-1
  1. Derivadas de terceira ordem:
fxxx=y^3e^xy, fxxy=(2y+xy^2)e^xy, fxyy=(2x+x^2y)e^xy, fyyy=x^3e^xy
fxxx(1,-1)=-e^-1, fxxy(1,-1)=-e^-1, fxyy(1,-1)=e^-1, fyyy(1,-1)=e^-1

Passo 3

A fórmula de Taylor até 3ª ordem em torno de (1,-1) é
T3(x,y)=f(P0) +fx(P0),h+fy(P0),k +12l[fxx(P0),h^2+2fxy(P0),h,k+fyy(P0),k^2r] +16l[fxxx(P0),h^3+3fxxy(P0),h^2k+3fxyy(P0),h,k^2+fyyy(P0),k^3r]

Passo 4

Substituindo os valores encontrados e lembrando h=x-1, k=y+1, fatoramos e^-1:
T3(x,y)=e^-1l[1 -(x-1)+(y+1) +tfrac12l[(x-1)^2+(y+1)^2r] +tfrac16l[-(x-1)^3-3(x-1)^2(y+1)+3(x-1)(y+1)^2+(y+1)^3r]r]

Resposta

T3(x,y) =e^-1l[1-(x-1)+(y+1) +tfrac12l[(x-1)^2+(y+1)^2r] +tfrac16l[-(x-1)^3-3(x-1)^2(y+1)+3(x-1)(y+1)^2+(y+1)^3r]r]

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