Ache a fórmula de Taylor referente à origem de cada função até os termos de segunda ordem.
f(x, y)=e^x ln (1-y).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de segunda ordem, centrado na origem (0,0), da função
f(x,y)=e^xln(1-y)
O conteúdo envolve derivadas parciais até segunda ordem e a fórmula geral do desenvolvimento de Taylor em duas variáveis.

Passo 2

A fórmula de Taylor de segunda ordem de uma função f em torno de (0,0) é
T2(x,y)=f(0,0)+fx(0,0),x+fy(0,0),y +tfrac12l(fxx(0,0),x^2+2,fxy(0,0),x,y+fyy(0,0),y^2r)

Passo 3

Calculemos os valores em (0,0):
f(0,0)=e^0ln(1-0)=1cdot 0=0
fx(x,y)=partialxl(e^xln(1-y)r)=e^xln(1-y), logo
fx(0,0)=1cdot 0=0
fy(x,y)=partialyl(e^xln(1-y)r) =e^x,-11-y=-e^x1-y, logo
fy(0,0)=-1

Passo 4

Agora as segundas derivadas em (0,0):
fxx(x,y)=partialxl(e^xln(1-y)r)=e^xln(1-y),
então fxx(0,0)=0
fxy(x,y)=partialyl(e^xln(1-y)r) =-e^x1-y, logo fxy(0,0)=-1
fyy(x,y)=partialyl(-e^x1-yr) =-e^x,1(1-y)^2, logo fyy(0,0)=-1

Passo 5

Substituindo na fórmula de Taylor e simplificando:
T2(x,y) =0 + 0cdot x + (-1),y +tfrac12l(0cdot x^2+2(-1),x,y+(-1),y^2r) =-y+tfrac12l(-2xy - y^2r) =-y -xy -tfrac12y^2

Resposta

T2(x,y)=-y -x,y -tfrac12y^2

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