Sejam
e
irracionais. Se
é racional, prove que
é irracional.
Resolução: Se
fosse racional, então
também seria pois
, por hipótese. Mas entāo
também teria que sex racional, o que contraria a hipótese.
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são números irracionais e que a soma
é racional. Queremos mostrar que então a diferença
não pode ser racional. O conteúdo envolve propriedades de fechamento de
(soma de racionais é racional, produto/divisão por inteiro não nulo preserva racionalidade) e um argumento por contradição.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
. Como também
por hipótese e
é fechado sob soma, temos
Mas
logo
.
Passo 3
Como
é fechado sob divisão por inteiro não nulo, segue que
contrariando a hipótese de que
é irracional. Portanto nossa suposição inicial falhou.
Resposta
Logo,
é irracional.