Sejam alpha e beta irracionais. Se alpha+beta é racional, prove que alpha-beta é irracional.
Resolução: Se alpha-beta fosse racional, então (alpha+beta)+(alpha-beta)=2 alpha também seria pois alpha+beta in Q, por hipótese. Mas entāo 2 alpha2=alpha também teria que sex racional, o que contraria a hipótese.

Passo 1

O enunciado afirma que alpha e beta são números irracionais e que a soma alpha+beta é racional. Queremos mostrar que então a diferença alpha-beta não pode ser racional. O conteúdo envolve propriedades de fechamento de Q (soma de racionais é racional, produto/divisão por inteiro não nulo preserva racionalidade) e um argumento por contradição.

Passo 2

Suponha, por contradição, que alpha-betainQ$. Como também alpha+betainQ por hipótese e Q é fechado sob soma, temos
(alpha+beta)+(alpha-beta)inQ
Mas
(alpha+beta)+(alpha-beta)=2alpha,
logo 2alphainQ.

Passo 3

Como Q é fechado sob divisão por inteiro não nulo, segue que
alpha=2alpha2inQ,
contrariando a hipótese de que alpha é irracional. Portanto nossa suposição inicial falhou.

Resposta

Logo, alpha-beta é irracional.

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