15.12.4 Ache
L^-1ss^2-k^2
(a) por uma expansão por frações parciais.
(b) Repita, usando a integral de Bromwich.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar L^-1lss^2-k^2r. O conteúdo envolve transformada inversa de Laplace e usaremos duas técnicas: frações parciais e integral de Bromwich.

Passo 2

Para (a), começamos fazendo a decomposição em frações parciais:
ss^2-k^2 ;=; As-k + Bs+k
Multiplicando por (s-k)(s+k) obtemos s = A(s+k) + B(s-k). Igualando coeficientes em s e termo constante, vem
A + B = 1, k(A - B) = 0 Longrightarrow A = B = tfrac12
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ss^2-k^2 = 121s-k + 121s+k
Aplicando a transformada inversa e lembrando que L^-11/(smp k) = e^pm kt, segue
f(t) = tfrac12l(e^kt+e^-ktr) = cosh(kt)

Passo 3

Para (b), usamos a fórmula de Bromwich:
f(t) = 12pi i integralc - iinfty^c + iinfty s,e^sts^2-k^2,ds,
onde escolhemos c>|k|. Para t>0, fechamos o contorno no semicírculo à esquerda, que envolve os polos simples em s=pm k.

Passo 4

Calculando os resíduos:
Residue em s=k:
Ress=k s,e^sts^2-k^2 = limsto k(s-k)s,e^st(s-k)(s+k) = k,e^kt2k = tfrace^kt2
Residue em s=-k:
Ress=-k s,e^sts^2-k^2 = limsto -k(s+k)s,e^st(s-k)(s+k) = -k,e^-kt-2k = tfrace^-kt2
A soma dos resíduos dá
e^kt+e^-kt2 = cosh(kt)

Resposta

(a) cosh(kt)\n(b) cosh(kt)

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