15.12.12 Usando a integral de Bromwich, inverta f(s)=s^-2 e^-k s. Expresse F(t)=L^-1f(s) em termos da função degrau unitária (deslocada) u(t-k).
Resposta: F(t)=(t-k) u(t-k).

Passo 1

O enunciado pede para inverter
f(s)=s^-2e^-k s
usando a fórmula de Bromwich e expressar o resultado em termos da função degrau deslocada u(t-k). O conteúdo-chave é a propriedade de deslocamento no domínio s, que diz que multiplicar por e^-k s corresponde a um atraso de k na função no domínio do tempo.

Passo 2

Pela fórmula de Bromwich, a inversa de f(s) é
F(t)=12pi iintegralc-iinfty^c+iinftys^-2e^-k se^s t,ds =12pi iintegralc-iinfty^c+iinftys^-2e^s(t-k),ds

Passo 3

Note que o integrando agora é exatamente o que aparece na inversa de 1/s^2, mas avaliado em t-k. De fato, sabemos que
L^-1ltfrac1s^2r(tau)=tau(tau>0),
e é zero para tau<0.

Passo 4

Logo, colocando tau=t-k, o valor da integral de Bromwich é
F(t)=tau;u(tau)= (t-k),u(t-k)

Resposta

F(t)=(t-k),u(t-k)

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