15.12.10 Avalie a integral de Bromwich para
f(s)=s(s^2+a^2)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace (via integral de Bromwich) de
F(s)=s(s^2+a^2)^2
Para resolver, vamos usar a propriedade de derivação de transformadas e um par básico de Laplace.

Passo 2

A propriedade de derivação é
Lt,f(t) ;=; -ddsl[F(s)r],
onde F(s)=Lf(t). Se conseguirmos escrever F(s) como derivada de algo mais simples, a inversão fica direta.

Passo 3

Começamos com o par
Llsin(at)ar = 1s^2+a^2
Calculando a derivada desse transformado,
dds!l(tfrac1s^2+a^2r) = -2s(s^2+a^2)^2,
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s(s^2+a^2)^2 = -tfrac12,dds!l(tfrac1s^2+a^2r)

Passo 4

Pela propriedade de derivação inversa,
-dds!l(tfrac1s^2+a^2r) ;long<=ftrightarrow; t,sin(at)a
Como F(s) é -tfrac12 dessa derivada, basta escalar: a transformada inversa de tfracs(s^2+a^2)^2 é tfrac12 de t,tfracsin(at)a.

Resposta

f(t) = t2a,sin(at)

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