15.12.2 Começando com
12 pi i integralgamma-i infty^gamma+i infty e^s t f(s) d s
mostre que, introduzindo
f(s)=integral0^infty e^-s z F(z) d z
podemos converter uma integral na representação de Fourier de uma função delta de Dirac. A partir disso, derive a transformada inversa de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, ao substituir
f(s)=integral0^inftye^-s zF(z),dz
na integral
12pi iintegralgamma - iinfty^gamma + iinftye^s tf(s),ds,
aparece a representação de Fourier da delta de Dirac, e a seguir disso extrair a fórmula da transformada inversa de Laplace. Vamos usar propriedades de troca de ordem de integração, mudança de variável no contorno e o fato de
12piintegral-infty^inftye^iomega x,domega=de<a(x)

Passo 2

Substituindo f(s) na integral e trocando a ordem de integração (justificado por Fubini), obtemos
12pi iintegralgamma - iinfty^gamma + iinftye^s t l(integral0^inftye^-s zF(z),dzr),ds =integral0^inftyF(z)l[12pi i integralgamma - iinfty^gamma + iinftye^s(t-z),dsr]dz

Passo 3

Para avaliar
12pi iintegralgamma - iinfty^gamma + iinftye^s(t-z),ds
fazemos s=gamma + i y, então ds=i,dy e
e^s(t-z)=e^gamma(t-z)e^i y(t-z)
Daí
12pi iintegralgamma - iinfty^gamma + iinftye^s(t-z),ds =e^gamma(t-z)2piintegral-infty^inftye^i y(t-z),dy =e^gamma(t-z)de<a(t-z)
Mas como de<a(t-z) só “vê” t=z, temos e^gamma(t-z)de<a(t-z)=de<a(t-z).

Passo 4

Voltando à integral em z,
integral0^inftyF(z),de<a(t-z),dz =F(t),
para t>0. Isso mostra que
12pi iintegralgamma - iinfty^gamma + iinftye^s tf(s),ds =F(t)
Portanto a transformada inversa de Laplace é
F(t) =L^-1f(s)(t) =12pi iintegralgamma - iinfty^gamma + iinftye^s tf(s),ds

Resposta

F(t) =12pi iintegralgamma - iinfty^gamma + iinftye^s tf(s),ds

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