15.12.2 Começando com
mostre que, introduzindo
podemos converter uma integral na representação de Fourier de uma função delta de Dirac. A partir disso, derive a transformada inversa de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, ao substituir
na integral
aparece a representação de Fourier da delta de Dirac, e a seguir disso extrair a fórmula da transformada inversa de Laplace. Vamos usar propriedades de troca de ordem de integração, mudança de variável no contorno e o fato de
Passo 2
Substituindo
na integral e trocando a ordem de integração (justificado por Fubini), obtemos
Passo 3
Para avaliar
fazemos
, então
e
Daí
Mas como
só “vê”
, temos
.
Passo 4
Voltando à integral em
,
para
. Isso mostra que
Portanto a transformada inversa de Laplace é