15.12.8 Avalie a transformada inversa de Laplace
L^-1(s^2-a^2)^-1 / 2
por cada um dos métodos seguintes:
(a) Expansão em uma série e inversão termo a termo.
(b) Cálculo direto da integral de Bromwich.
(c) Mudança de variável na integral de Bromwich: s=(a / 2)(z+z^-1).

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
L^-1l(s^2-a^2)^-1/2r(t)
usando três métodos: (a) expansão em série e inversão termo a termo, (b) cálculo direto pela integral de Bromwich e (c) mudança de variável s=(a/2)(z+z^-1). O conteúdo central envolve séries de binômio de Newton generalizado, contorno de Bromwich e funções de Bessel modificadas.

Passo 2

Método (a): escrevemos
(s^2-a^2)^-1/2 = s^-1l(1 - tfraca^2s^2r)^-1/2
e usamos a série de binômio
(1 - u)^-1/2 = sumk=0^infty binom-tfrac12k(-u)^k = sumk=0^infty (2k)!2^2k(k!)^2,u^k
Com u=a^2/s^2 vem
(s^2-a^2)^-1/2 =sumk=0^infty(2k)!2^2k(k!)^2 ,a^2ks^2k+1
Agora, como
L^-1s^-(2k+1)(t) =t^2k(2k)!,
invertendo termo a termo obtemos
f(t) =sumk=0^infty(2k)!2^2k(k!)^2, a^2kt^2k(2k)! =sumk=0^infty(a,t)^2k2^2k(k!)^2 =I0(a,t)

Passo 3

Método (b): pela fórmula de Bromwich
f(t) =12pi iintegralc-iinfty^c+iinfty e^s t(s^2-a^2)^-1/2,ds,
definimos um ramo com corte real entre -a e a e deformamos o contorno de integração para envolver esse corte. Ao parametrizar nas partes lateral superior e inferior do ramo com s=acosh u ou explodir o integral em termos de um ângulo real, chega-se à representação integral
f(t) =1piintegral0^pie^a,tcostheta,dtheta,
que é a forma integral de I0(a,t). Logo o resultado é
f(t)=I0(a,t)

Passo 4

Método (c): fazemos a mudança de variável
s=a2l(z+z^-1r), ds=a2l(1-z^-2r)dz,
e nota-se
s^2-a^2 =a^24(z-z^-1)^2,
logo raizs^2-a^2=(a/2)(z-z^-1). No integrando de Bromwich aparece
dsraizs^2-a^2 =tfraca2(1-z^-2)dztfraca2(z-z^-1) =1-z^-2z-z^-1,dz =dzz
Também
e^s t =e^tfraca2(z+z^-1)t =sumn=-infty^inftyIn(a,t),z^n
Assim a integral em z
f(t) =12pi ioint e^tfraca2(z+z^-1)t,dzz =coeficiente de z^0 =;I0(a,t)

Resposta

L^-1l(s^2-a^2)^-1/2r(t) =I0(a,t)

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