15.12.8 Avalie a transformada inversa de Laplace
por cada um dos métodos seguintes:
(a) Expansão em uma série e inversão termo a termo.
(b) Cálculo direto da integral de Bromwich.
(c) Mudança de variável na integral de Bromwich:
.
(a) Expansão em uma série e inversão termo a termo.
(b) Cálculo direto da integral de Bromwich.
(c) Mudança de variável na integral de Bromwich:
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
usando três métodos: (a) expansão em série e inversão termo a termo, (b) cálculo direto pela integral de Bromwich e (c) mudança de variável
. O conteúdo central envolve séries de binômio de Newton generalizado, contorno de Bromwich e funções de Bessel modificadas.
Passo 2
Método (a): escrevemos
e usamos a série de binômio
Com
vem
Agora, como
invertendo termo a termo obtemos
Passo 3
Método (b): pela fórmula de Bromwich
definimos um ramo com corte real entre
e
e deformamos o contorno de integração para envolver esse corte. Ao parametrizar nas partes lateral superior e inferior do ramo com
ou explodir o integral em termos de um ângulo real, chega-se à representação integral
que é a forma integral de
. Logo o resultado é
Passo 4
Método (c): fazemos a mudança de variável
e nota-se
logo
. No integrando de Bromwich aparece
Também
Assim a integral em
dá