15.12.5 Ache
L^-1k^2s(s^2+k^2)
(a) usando uma expansão por frações parciais.
(b) Repita, usando o teorema da convolução.
(c) Repita, usando a integral de Bromwich.
Resposta: F(t)=1-cos k t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa
L^-1lk^2s,(s^2+k^2)r,
usando três métodos: frações parciais, teorema da convolução e integral de Bromwich. O objetivo comum é mostrar que
F(t)=1-cos(k,t)

Passo 2

Usando frações parciais, começamos por escrever
k^2s,(s^2+k^2) =As+B,s+Cs^2+k^2
Multiplicando por s(s^2+k^2) e igualando coeficientes em s, obtemos
k^2=A,(s^2+k^2)+(B,s+C),s =(A+B),s^2+C,s+A,k^2
Comparando com k^2=0cdot s^2+0cdot s+1cdot k^2
A+B=0, C=0, A,k^2=k^2 Rightarrow A=1, B=-1, C=0
Logo
k^2s(s^2+k^2) =1s-ss^2+k^2
Aplicando a transformada inversa de cada parcela, lembrando que
L^-11/s=1 e L^-1s/(s^2+k^2)=cos(k,t), vem
F(t)=1-cos(k,t)

Passo 3

Pelo teorema da convolução, escrevemos
k^2s(s^2+k^2) =ks;cdot;ks^2+k^2
Seja f1(t)=L^-1k/s=k e f2(t)=L^-1k/(s^2+k^2)=sin(k,t). Então
F(t)=(f1ast f2)(t) =integral0^tk,sinl(k,(t-tau)r),dtau
Fazendo a mudança u=t-tau,
F(t) =kintegral0^tsin(k,u),du =-cos(k,u)|0^t =1-cos(k,t)

Passo 4

Pela fórmula de Bromwich,
os polos simples são e . Pelos resíduos:
– Em :
– Em :
– Em :
Somando e multiplicando por , obtém-se

Resposta

F(t)=1-cos(k,t)

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