15.12.9 Mostre que
L^-1ln ss=-ln t-gamma
em que gamma=0,5772 ldots é a constante de Euler-Mascheroni.

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
L^-1lln ssr
e afirma que o resultado é
-ln t ;-;gamma,
onde gamma é a constante de Euler–Mascheroni. Para mostrar isso, vamos usar a transformação de Laplace de ln t, obtida diferenciando a transformada de t^a em relação a a e depois avaliando em a=0.

Passo 2

Lembramos que, para Re(s)>0 e Re(a)>-1,
Lt^a =integral0^inftyt^a e^-st,dt =Gamma(a+1)s^,a+1
Aqui Gamma é a função Gamma de Euler, com Gamma(a+1) = a! quando a é inteiro.

Passo 3

Para obter Lln t, escrevemos
Lt^a =Gamma(a+1)s^,a+1
e diferenciamos em relação a a:
partialpartial aLt^a =partialpartial al[Gamma(a+1),s^-(a+1)r]
No lado esquerdo surge
partialpartial aLt^a =Lpartial(t^a)/partial a =Lt^aln t

Passo 4

Agora avaliamos em a=0. Primeiro o lado direito:
Gamma(a+1)s^-(a+1)
tem derivada
Gamma'(a+1),s^-(a+1) ;+;Gamma(a+1),s^-(a+1)(-ln s)
Em a=0 sabemos Gamma(1)=1 e Gamma'(1)=-gamma. Logo,
Lln t =l[,-gamma,s^-1 ;-;1cdot s^-1(ln s)r] =-gamma+ln ss

Passo 5

Isolando ln s/s na expressão acima:
-gamma+ln ss =Lln t Longrightarrow ln ss =-Lln t-gammas
Mas Lgamma=gamma/s, pois gamma é constante. Assim
ln ss =-Lln t-Lgamma =-Lln t+gamma =L-ln t-gamma
Portanto
L^-1lln ssr =-ln t-gamma

Resposta

L^-1lln ssr=-ln t-gamma

Exercícios de Livros Relacionados