15.12.9 Mostre que
em que
é a constante de Euler-Mascheroni.
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
e afirma que o resultado é
onde
é a constante de Euler–Mascheroni. Para mostrar isso, vamos usar a transformação de Laplace de
, obtida diferenciando a transformada de
em relação a
e depois avaliando em
.
Passo 2
Lembramos que, para
e
,
Aqui
é a função Gamma de Euler, com
quando
é inteiro.
Passo 3
Para obter
, escrevemos
e diferenciamos em relação a
:
No lado esquerdo surge
Passo 4
Agora avaliamos em
. Primeiro o lado direito:
tem derivada
Em
sabemos
e
. Logo,
Passo 5
Isolando
na expressão acima:
Mas
, pois
é constante. Assim
Portanto