Você tem uma transformada de Laplace:
f(s)=1(s+a)(s+b), a neq b
Inverta essa transformada por cada um dos três métodos:
(b) Teorema da convolução.

Passo 1

O enunciado pede a inversa da transformada de Laplace
f(s)=1(s+a)(s+b), aneq b
usando o Teorema da Convolução. Vamos lembrar que, se
F(s)=F1(s),F2(s),
então
L^-1F(s)(t) =(f1*f2)(t) =integral0^tf1(t-tau),f2(tau),dtau,
onde fi=L^-1Fi.

Passo 2

Observamos que
f(s) =1s+a;times;1s+b
Assim podemos tomar
F1(s)=1s+a, F2(s)=1s+b,
cuja inversa são
f1(t)=e^-a t, f2(t)=e^-b t,
valendo para t>=0.

Passo 3

Pelo Teorema da Convolução, a inversa de f(s) é
f(t) =integral0^tf1(t-tau),f2(tau),dtau =integral0^te^-a(t-tau),e^-btau,dtau

Passo 4

Dentro da integral, somamos expoentes:
e^-a(t-tau),e^-btau =e^-a t,e^atau,e^-btau =e^-a t,e^-(b-a)tau
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f(t) =e^-a tintegral0^te^-(b-a)tau,dtau =e^-a t,1 - e^-(b-a)tb-a =e^-a t-e^-b tb-a

Resposta

f(t)=e^-a t-e^-b tb-a, t>=0

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