Você tem uma transformada de Laplace:
f(s)=1(s+a)(s+b), a neq b
Inverta essa transformada por cada um dos três métodos:
(a) Frações parciais e uso de tabelas.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a transformada de Laplace
f(s)=1(s+a)(s+b), aneq b,
usando o método de frações parciais e, em seguida, tabelas de transformada de Laplace. Vamos decompor em termos de 1/(s+alpha), cujos inversos são tabelados como e^-alpha t.

Passo 2

Procuramos constantes A e B tais que
1(s+a)(s+b)=As+a+Bs+b
Multiplicando ambos os lados por (s+a)(s+b), obtemos
1 = A(s+b) + B(s+a)

Passo 3

Para achar A e B basta escolher valores de s que anulem termos:
- Se s=-a, então
1 = A((-a)+b) Longrightarrow A = 1b-a
- Se s=-b, então
1 = B((-b)+a) Longrightarrow B = 1a-b = -1b-a

Passo 4

Agora escrevemos
f(s) = 1b-a,1s+a ;-;1b-a,1s+b
Na tabela, sabemos que
L^-1!ltfrac1s+alphar(t)=e^-alpha t
Logo, aplicando inversão termo a termo:
L^-1f(s)(t) =1b-a,e^-a t -1b-a,e^-b t

Resposta

f(t)=e^-a t-e^-b tb-a

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