3.2.35 Ache as matrizes \mathrm{M}_{R}, tais que o produto \mathrm{AM}_{R} será A , porém com
(a) a i-ésima coluna multiplicada por uma constante k\left(a_{j i} \rightarrow k a_{j i}, j=1,2,3, \ldots\right);
(b) a i-ésima coluna substituída pela i-ésima coluna original, menos um múltiplo da m-ésima coluna ( a_{j i} \rightarrow a_{j i}-k a_{j m}, j=1,2,3, \ldots );
(c) a i-ésima e a m-ésima colunas permutadas \left(a_{j i} \rightarrow a_{j m}, a_{j m} \rightarrow a_{j i}, j=1,2,3, \ldots\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar matrizes M_{R}\in\mathbb{R}^{n\times n} tais que, para uma matriz arbitrária A de tamanho p\times n, o produto
A\,M_{R}
seja exatamente A com as colunas alteradas por uma operação elementar de colunas.

Passo 2

Para multiplicar a i-ésima coluna de A por uma constante k, basta escolher
M_{R}^{(a)} = \operatorname{diag}(1,\dots,1,k,1,\dots,1),
onde o valor k aparece na posição (i,i) e todos os outros elementos diagonais são 1. Em notação de componentes:
(M_{R}^{(a)})_{jj} = \begin{cases} k,& j=i,\\\\ 1,& j\neq i, \end{cases} \quad (M_{R}^{(a)})_{rs}=0\\ \text{se }r\neq s.

Passo 3

Para substituir a i-ésima coluna por ela mesma menos k vezes a m-ésima coluna, usamos
M_{R}^{(b)} = I_{n} - k\,E_{m,i},
onde I_{n} é a identidade n\times n e E_{m,i} é a matriz que tem 1 na posição (m,i) e zeros em todos os outros lugares. Assim a coluna i de A\,M_{R}^{(b)} fica
A\bigl(e_{i}-k\,e_{m}\bigr) = A e_{i} - k\,A e_{m},
isto é, a_{ji}\to a_{ji}-k\,a_{jm}.

Passo 4

Para permutar as colunas i\) e \(m\) de \(A\), escolhemos \(M_{R}^{\text{(c)}}\) igual à identidade com as colunas \(i\) e \(m\) trocadas. Em termos de componentes: \[(M_{R}^{\text{(c)}})_{rs} = \begin{cases} 1,& (r,s)=(i,m)\text{ ou }(m,i),\\\\ 1,& r=s\neq i,m,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Explicitamente,
M_{R}^{\text{(c)}} = I_{n} - E_{ii} - E_{mm} + E_{i,m} + E_{m,i},
de modo que a coluna i\] de \(A\,M_{R}^{\text{(c)}} seja a coluna m original de A e vice-versa.

Resposta

(a)
M_{R}^{(a)}=\operatorname{diag}(1,\dots,1,k,1,\dots,1),
com k na posição (i,i).
(b)
M_{R}^{(b)}=I_{n}-k\,E_{m,i}.
(c)
M_{R}^{\text{(c)}}=I_{n}-E_{ii}-E_{mm}+E_{i,m}+E_{m,i}.

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