3.2.35 Ache as matrizes \mathrm{M}_{R}, tais que o produto \mathrm{AM}_{R} será A , porém com
(a) a i-ésima coluna multiplicada por uma constante k\left(a_{j i} \rightarrow k a_{j i}, j=1,2,3, \ldots\right);
(b) a i-ésima coluna substituída pela i-ésima coluna original, menos um múltiplo da m-ésima coluna ( a_{j i} \rightarrow a_{j i}-k a_{j m}, j=1,2,3, \ldots );
(c) a i-ésima e a m-ésima colunas permutadas \left(a_{j i} \rightarrow a_{j m}, a_{j m} \rightarrow a_{j i}, j=1,2,3, \ldots\right).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar matrizes M_{R}\in\mathbb{R}^{n\times n} tais que, para uma matriz arbitrária A de tamanho p\times n, o produto
A\,M_{R}
seja exatamente A com as colunas alteradas por uma operação elementar de colunas.
Passo 2
Para multiplicar a i-ésima coluna de A por uma constante k, basta escolher
onde o valor k aparece na posição (i,i) e todos os outros elementos diagonais são 1. Em notação de componentes:
(M_{R}^{(a)})_{jj} = \begin{cases} k,& j=i,\\\\ 1,& j\neq i, \end{cases} \quad (M_{R}^{(a)})_{rs}=0\\ \text{se }r\neq s.
Passo 3
Para substituir a i-ésima coluna por ela mesma menos k vezes a m-ésima coluna, usamos
M_{R}^{(b)} = I_{n} - k\,E_{m,i},
onde I_{n} é a identidade n\times n e E_{m,i} é a matriz que tem 1 na posição (m,i) e zeros em todos os outros lugares. Assim a coluna i de A\,M_{R}^{(b)} fica
A\bigl(e_{i}-k\,e_{m}\bigr) = A e_{i} - k\,A e_{m},
isto é, a_{ji}\to a_{ji}-k\,a_{jm}.
Passo 4
Para permutar as colunas i\) e \(m\) de \(A\), escolhemos \(M_{R}^{\text{(c)}}\) igual à identidade com as colunas \(i\) e \(m\) trocadas. Em termos de componentes:
\[(M_{R}^{\text{(c)}})_{rs} = \begin{cases} 1,& (r,s)=(i,m)\text{ ou }(m,i),\\\\ 1,& r=s\neq i,m,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}