3.2.35 Ache as matrizes MR, tais que o produto AMR será A , porém com
(a) a i-ésima coluna multiplicada por uma constante k(aj i k aj i, j=1,2,3, ldots);
(b) a i-ésima coluna substituída pela i-ésima coluna original, menos um múltiplo da m-ésima coluna ( aj i aj i-k aj m, j=1,2,3, ldots );
(c) a i-ésima e a m-ésima colunas permutadas (aj i aj m, aj m aj i, j=1,2,3, ldots).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar matrizes MRinR^ntimes n tais que, para uma matriz arbitrária A de tamanho ptimes n, o produto
A,MR
seja exatamente A com as colunas alteradas por uma operação elementar de colunas.

Passo 2

Para multiplicar a i-ésima coluna de A por uma constante k, basta escolher
MR^(a) = diag(1,dots,1,k,1,dots,1),
onde o valor k aparece na posição (i,i) e todos os outros elementos diagonais são 1. Em notação de componentes:
(MR^(a))jj = k,& j=i, 1,& jneq i, (MR^(a))rs=0 se rneq s

Passo 3

Para substituir a i-ésima coluna por ela mesma menos k vezes a m-ésima coluna, usamos
MR^(b) = In - k,Em,i,
onde In é a identidade ntimes n e Em,i é a matriz que tem 1 na posição (m,i) e zeros em todos os outros lugares. Assim a coluna i de A,MR^(b) fica
Al(ei-k,emr) = A ei - k,A em,
isto é, ajito aji-k,ajm.

Passo 4

Para permutar as colunas
Explicitamente,
de modo que a coluna seja a coluna original de e vice-versa.

Resposta

(a)
MR^(a)=diag(1,dots,1,k,1,dots,1),
com k na posição (i,i).
(b)
MR^(b)=In-k,Em,i
(c)
MR^(c)=In-Eii-Emm+Ei,m+Em,i

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