3.2.35 Ache as matrizes , tais que o produto será A , porém com
(a) a -ésima coluna multiplicada por uma constante ;
(b) a -ésima coluna substituída pela -ésima coluna original, menos um múltiplo da -ésima coluna ( );
(c) a -ésima e a -ésima colunas permutadas .
Passo 1
O enunciado pede para encontrar matrizes tais que, para uma matriz arbitrária de tamanho , o produto
seja exatamente com as colunas alteradas por uma operação elementar de colunas.
Passo 2
Para multiplicar a -ésima coluna de por uma constante , basta escolher
onde o valor aparece na posição e todos os outros elementos diagonais são . Em notação de componentes:
Passo 3
Para substituir a i-ésima coluna por ela mesma menos k vezes a m-ésima coluna, usamos
MR^(b) = In - k,Em,i,
onde In é a identidade ntimes n e Em,i é a matriz que tem 1 na posição (m,i) e zeros em todos os outros lugares. Assim a coluna i de A,MR^(b) fica
Al(ei-k,emr) = A ei - k,A em,
isto é, ajito aji-k,ajm.
Passo 4
Para permutar as colunas
Explicitamente,
de modo que a coluna seja a coluna original de e vice-versa.
Resposta
(a)
MR^(a)=diag(1,dots,1,k,1,dots,1),
com k na posição (i,i).
(b)
MR^(b)=In-k,Em,i
(c)
MR^(c)=In-Eii-Emm+Ei,m+Em,i
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 3.2 - Ex. 3.2.35