18.2.10 Ache, por meios numéricos, os valores
onde o ciclo de período
começa e, em seguida, onde ele se torna instável.
Passo 1
O exercício trata do mapa logístico
e pede, para cada período
, o valor de
em que o ciclo de período
nasce (bifurcação de aparecimento, isto é, multiplicador da órbita igual a
) e o valor de
em que ele perde estabilidade (bifurcação de period-doubling interna ao ciclo, multiplicador igual a
).
Vamos resolver numericamente as duas condições simultâneas para cada :
.
com órbita de período exatamente
,
.
(nascimento) ou
(instabilidade).
Vamos resolver numericamente as duas condições simultâneas para cada
Passo 2
Condições de bifurcação para ciclo de período
Para (nasce o ciclo) e para
obtemos
(deixa de ser estável). Em cada caso usamos método de Newton–Raphson em
e
.
Passo 3
Período
(fixo):
O ponto fixo não nulo satisfaz
O ponto fixo não nulo satisfaz
e a derivada é
.
– Nascimento: dá
.
– Instabilidade: dá
.
– Nascimento:
– Instabilidade:
Passo 4
Período
:
A condição com
leva ao valor exato
A condição
A seguir, impondo
e iterando numericamente, obtemos
Passo 5
Período
:
Repetindo o mesmo procedimento (resolver dois parâmetros ), encontra-se
Repetindo o mesmo procedimento (resolver dois parâmetros
Passo 6
Período
e
:
Fazendo Newton–Raphson para e
e impondo
e
, obt’em-se aproximadas-mente
Fazendo Newton–Raphson para
Resposta
Período
:\quad
,
Período :\quad
,
Período :\quad
,
Período :\quad
,
Período :\quad
,
Período
Período
Período
Período