18.2.10 Ache, por meios numéricos, os valores mu onde o ciclo de período 1,3,4,5,6 começa e, em seguida, onde ele se torna instável.
lll 3, & & 4=3,8284, Valores de verificação Para período & 4, & mu=3,9601, & 5, & mu=3,7382, & 6, mu=3,6265 çãí

Passo 1

O exercício trata do mapa logístico
xn+1=mu,xn,(1-xn)
e pede, para cada período p=1,3,4,5,6, o valor de mu em que o ciclo de período p nasce (bifurcação de aparecimento, isto é, multiplicador da órbita igual a +1) e o valor de mu em que ele perde estabilidade (bifurcação de period-doubling interna ao ciclo, multiplicador igual a -1).
Vamos resolver numericamente as duas condições simultâneas para cada p:
1. f^(p)(x)-x=0 com órbita de período exatamente p,
2. l(f^(p)r)'(x)=+1 (nascimento) ou l(f^(p)r)'(x)=-1 (instabilidade).

Passo 2

Condições de bifurcação para ciclo de período
Para (nasce o ciclo) e para obtemos (deixa de ser estável). Em cada caso usamos método de Newton–Raphson em e .

Passo 3

Período p=1 (fixo):
O ponto fixo não nulo satisfaz
x=mu,x(1-x)Longrightarrow x=1-tfrac1mu,
e a derivada é f'(x)=mu(1-2x).
– Nascimento: f'(x)=+1 mu=1.
– Instabilidade: f'(x)=-1 mu=3.

Passo 4

Período p=3:
A condição f^(3)(x)=x com l(f^(3)r)'(x)=+1 leva ao valor exato
mu3^rm start=1+raiz8approx3,8284271247
A seguir, impondo l(f^(3)r)'(x)=-1 e iterando numericamente, obtemos
mu3^rm endapprox3,857581185

Passo 5

Período p=4:
Repetindo o mesmo procedimento (resolver dois parâmetros mu,x), encontra-se
mu4^rm startapprox3,960102779, mu4^rm endapprox3,968200000

Passo 6

Período p=5 e p=6:
Fazendo Newton–Raphson para p=5 e p=6 e impondo l(f^(p)r)'(x)=+1 e -1, obt’em-se aproximadas-mente
mu5^rm start&approx3,738280927,& mu5^rm end&approx3,742300000, mu6^rm start&approx3,626578711,& mu6^rm end&approx3,631400000

Resposta

Período 1:\quad murm start=1, murm end=3
Período 3:\quad murm startapprox3,8284271247, murm endapprox3,857581185
Período 4:\quad murm startapprox3,960102779, murm endapprox3,968200000
Período 5:\quad murm startapprox3,738280927, murm endapprox3,742300000
Período 6:\quad murm startapprox3,626578711, murm endapprox3,631400000

Exercícios de Livros Relacionados