18.2.5 Mostre que a segunda bifurcação para o mapa logístico que leva a ciclos de período 4 está localizada em mu=1+raiz6.

Passo 1

O enunciado fala do mapa logístico
xn+1 = mu,xn,(1 - xn)
e pede o valor de mu em que a órbita de período 2 sofre nova bifurcação dobrando para período 4.
O que vamos usar é a condição de bifurcação de período 2: o multiplicador (derivada do iterado duas vezes ao longo do ciclo) atinge -1.

Passo 2

Primeiro encontramos os dois pontos x1 e x2 do ciclo de período 2. Eles são raízes da equação
f(f(x)) - x = 0,
excluindo as soluções de ponto fixo de f. Pelas propriedades de Vieta, sejam
S = x1 + x2, P = x1,x2,
então, ao fatorar o polinômio de grau 4 que define f(f(x))-x em
x,(x-alpha),(x-x1),(x-x2)=0,
com alpha=(mu-1)/mu o ponto fixo não trivial, obtemos
S = mu+1mu, P = mu+1mu^2

Passo 3

A derivada do mapa é
f'(x) = mu,(1 - 2x)
O multiplicador do ciclo de período 2 é
lambda = f'(x1),f'(x2) = mu^2,(1 - 2x1),(1 - 2x2)
Usando
(1 - 2x1),(1 - 2x2) = 1 - 2S + 4P = 1 - 2mu+1mu + 4mu+1mu^2 = -mu^2 + 2mu + 4mu^2,
segue
lambda = mu^2;-mu^2 + 2mu + 4mu^2 = -mu^2 + 2mu + 4

Passo 4

A bifurcação de período 2to 4 ocorre quando lambda=-1. Logo,
-mu^2 + 2mu + 4 = -1 ;;Longrightarrow;; mu^2 - 2mu - 5 = 0 ;;Longrightarrow;; mu = 1 pm raiz6
Como queremos o próximo valor acima de 3, escolhemos
mu = 1 + raiz6

Resposta

mu = 1 + raiz6

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