18.2.5 Mostre que a segunda bifurcação para o mapa logístico que leva a ciclos de período 4 está localizada em
.
Passo 1
O enunciado fala do mapa logístico
e pede o valor de
em que a órbita de período
sofre nova bifurcação dobrando para período
.
O que vamos usar é a condição de bifurcação de período : o multiplicador (derivada do iterado duas vezes ao longo do ciclo) atinge
.
O que vamos usar é a condição de bifurcação de período
Passo 2
Primeiro encontramos os dois pontos
e
do ciclo de período
. Eles são raízes da equação
excluindo as soluções de ponto fixo de
. Pelas propriedades de Vieta, sejam
então, ao fatorar o polinômio de grau
que define
em
com
o ponto fixo não trivial, obtemos
Passo 3
A derivada do mapa é
O multiplicador do ciclo de período
é
Usando
segue
Passo 4
A bifurcação de período
ocorre quando
. Logo,
Como queremos o próximo valor acima de
, escolhemos