18.2.1 Mostre que
é um ponto fixo não-trivial do mapa
com uma inclinação
, de modo que o equilíbrio é estável se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no mapa discreto
existe um ponto fixo não-trivial
e que a inclinação da função de iteração nesse ponto é
. Em seguida, devemos usar o critério de estabilidade para mostrar que esse equilíbrio é estável se e só se
.
Passo 2
Para verificar que
é ponto fixo, basta substituir
em
Fazendo
obtemos
Logo
, ou seja,
satisfaz
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada de
para usar o critério de estabilidade local. Temos
então aplicando a regra do produto e a cadeia,
Passo 4
Avaliando
em
,
Portanto a inclinação no ponto fixo
é
.
Passo 5
O critério de estabilidade local para mapas de primeira ordem diz que o ponto fixo é estável se
. Aqui isso vira
Logo, o equilíbrio
é estável exatamente quando
.
Resposta
Mostramos que
é ponto fixo não-trivial, a inclinação é
e a estabilidade local requer
, isto é,
.