18.2.1 Mostre que x^*=1 é um ponto fixo não-trivial do mapa xn+1=xn exp [r(1-xn)] com uma inclinação 1-r, de modo que o equilíbrio é estável se 0<r<2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no mapa discreto
xn+1 = xn expl[r(1 - xn)r],
existe um ponto fixo não-trivial x^*=1 e que a inclinação da função de iteração nesse ponto é 1-r. Em seguida, devemos usar o critério de estabilidade para mostrar que esse equilíbrio é estável se e só se 0<r<2.

Passo 2

Para verificar que x^*=1 é ponto fixo, basta substituir xn=1 em
f(x) = x expl[r(1 - x)r]
Fazendo x=1 obtemos
f(1) = 1 cdot expl[r(1 - 1)r] = 1 cdot e^0 = 1
Logo f(1)=1, ou seja, x^*=1 satisfaz x^* = f(x^*).

Passo 3

Agora calculamos a derivada de f para usar o critério de estabilidade local. Temos
f(x) = x e^r(1-x),
então aplicando a regra do produto e a cadeia,
f'(x) = e^r(1-x) + x cdot e^r(1-x) cdot l(-rr) = e^r(1-x)l(1 - r xr)

Passo 4

Avaliando f'(x) em x=1,
f'(1) = e^r(1-1)l(1 - rcdot1r) = 1cdot(1 - r) = 1 - r
Portanto a inclinação no ponto fixo x^*=1 é ,1-r.

Passo 5

O critério de estabilidade local para mapas de primeira ordem diz que o ponto fixo é estável se lvert f'(x^*)rvert<1. Aqui isso vira
lvert 1 - rrvert < 1 Long<=ftrightarrow -1 < 1 - r < 1 Long<=ftrightarrow 0 < r < 2
Logo, o equilíbrio x^*=1 é estável exatamente quando 0<r<2.

Resposta

Mostramos que x^*=1 é ponto fixo não-trivial, a inclinação é f'(1)=1-r e a estabilidade local requer lvert 1-rrvert<1, isto é, 0<r<2.

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