18.2.4 Escreva o mapa logístico atrasado no tempo xn+1=mu xn(1-xn-1) como um mapa bidimensional xn+1=mu xn(1-yn), yn+1=xn, e determine alguns de seus pontos fixos.

Passo 1

O enunciado dá o mapa logístico com retardo
xn+1 = mu,xnl(1 - xn-1r)
e pede para reescrevê-lo como um sistema bidimensional e, a partir daí, encontrar pontos fixos. O conteúdo é dinâmica discreta de mapas iterativos; vamos usar a técnica de “embedding” em dimensão 2 e resolver o sistema de equações para pontos que se mantêm constantes de iteração em iteração.

Passo 2

Para criar o sistema em duas variáveis, definimos
yn = xn-1
Assim o mapa escala-duas dimensões fica
xn+1 = mu,xnl(1 - ynr)
yn+1 = xn

Passo 3

Um ponto fixo l(x^*,y^*r) deve satisfazer
x^* = mu,x^*l(1 - y^*r), y^* = x^*
Aqui impomos que ao iterar uma vez não haja mudança em nenhuma das coordenadas.

Passo 4

Substituindo
Isso leva a
E como e .

Resposta

Os pontos fixos do sistema
xn+1 = mu,xn(1 - yn), yn+1 = xn
são
(0,0) e l(1 - tfrac1mu,,1 - tfrac1mur)

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