18.2.3 Determine pontos fixos do mapa cúbico xn+1=a xn^3+(1-a) xn, para 0<a<4 e 0<xn<1.

Passo 1

O enunciado pede os pontos fixos do mapa cúbico
xn+1 = a,xn^3 + (1 - a),xn
para 0<a<4 e 0<xn<1. Pontos fixos são valores de x tais que xn+1=xn=x. Vamos então resolver a equação
f(x)=x, f(x)=a,x^3+(1-a),x

Passo 2

Escrevendo a condição f(x)=x temos
a,x^3 + (1-a),x = x

Passo 3

Reorganizando termos,
a,x^3 + (1-a),x - x = 0 Longrightarrow a,x^3 - a,x = 0 Longrightarrow a,x,(x^2-1) = 0

Passo 4

Como 0<a<4 implica aneq0, as raízes dessa equação são
x = 0 ou x^2 = 1 implies x = pm1
Logo, os pontos fixos do mapa são
x^* = -1,;0,;1

Passo 5

No entanto, como o enunciado restringe iterados a 0<xn<1, não há soluções estritamente internas a esse intervalo. Restam apenas as bordas x=0 e x=1 como pontos fixos viáveis.

Resposta

Os pontos fixos do mapa são ,x^*=-1,,0,,1.
Dentro de 0<x<1 não há fixos internos; apenas as bordas x=0 e x=1.

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