18.2.6 Construa uma função iteração não-linear com de<a de Feigenbaum no intervalo 2<de<a<4,6692 ldots

Passo 1

O enunciado pede para construirmos uma iteração não-linear que mostre o fenômeno de bifurcação em cascata com razão de Feigenbaum approx 4,6692, observando o parâmetro de<a no intervalo
2 < de<a < 4,6692ldots
O conteúdo aqui é teoria de sistemas dinâmicos unidimensionais, em particular a família logística, que exibe a famosa constante de Feigenbaum na sequência de pontos de acumulação de bifurcações de período.

Passo 2

A família logística é a escolha clássica para estudar bifurcações de período duplo em mapas unidimensionais. Definimos
fde<acolon [0,1]to[0,1], fde<a(x)=de<a,x,(1 - x)
Aqui de<a é o parâmetro de controle e x a variável de estado. A não-linearidade vem do termo x(1-x).

Passo 3

Para de<a>2 o ponto fixo x=0 torna-se instável e surge um segundo ponto fixo estável. À medida que aumentamos de<a, ocorrem bifurcações de período 2,4,8,dots, em que cada novo valor crítico de<an marca uma duplicação de período.

Passo 4

A razão
de<a = limntoinftyde<an-1-de<an-2de<an-de<an-1
é a constante de Feigenbaum, numericamente
de<aapprox4,6692ldots
Portanto, ao escolhermos de<a no intervalo
2<de<a<4,6692ldots,
vemos as primeiras bifurcações de período duplo até pouco antes do acúmulo caótico.

Resposta

A função de iteração não-linear que exibe o de<a de Feigenbaum no intervalo pedido é
fde<a(x)=de<a,x,(1 - x), 2<de<a<4,6692ldots

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