18.2.6 Construa uma função iteração não-linear com
de Feigenbaum no intervalo
Passo 1
O enunciado pede para construirmos uma iteração não-linear que mostre o fenômeno de bifurcação em cascata com razão de Feigenbaum
, observando o parâmetro
no intervalo
O conteúdo aqui é teoria de sistemas dinâmicos unidimensionais, em particular a família logística, que exibe a famosa constante de Feigenbaum na sequência de pontos de acumulação de bifurcações de período.
Passo 2
A família logística é a escolha clássica para estudar bifurcações de período duplo em mapas unidimensionais. Definimos
Aqui
é o parâmetro de controle e
a variável de estado. A não-linearidade vem do termo
.
Passo 3
Para
o ponto fixo
torna-se instável e surge um segundo ponto fixo estável. À medida que aumentamos
, ocorrem bifurcações de período
, em que cada novo valor crítico
marca uma duplicação de período.
Passo 4
A razão
é a constante de Feigenbaum, numericamente
Portanto, ao escolhermos
no intervalo
vemos as primeiras bifurcações de período duplo até pouco antes do acúmulo caótico.
Resposta
A função de iteração não-linear que exibe o
de Feigenbaum no intervalo pedido é