Ache os polinômios P(x) do 4? grau que verificam a identidade P(x) cong P(1-x).

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os polinômios P(x) de grau até 4 que satisfazem a identidade
P(x)=P(1-x)
Esse é um problema de simetria: polinômios que não mudam quando trocamos x por 1-x, ou seja, são “espelhados” em torno de x=tfrac12. Vamos usar mudança de variável e a ideia de função par.

Passo 2

Fazemos a troca
t = x - tfrac12,
e definimos
Q(t) = Pl(t + tfrac12r)
Então
P(x)=P(t+tfrac12) e P(1-x)=Pl(1-(t+tfrac12)r)=Pl(tfrac12 - tr)=Q(-t)
A identidade P(x)=P(1-x) vira
Q(t)=Q(-t),
logo Q é uma função par em t.

Passo 3

Um polinômio par de grau até 4 em t só tem termos de grau par, isto é, a forma geral é
Q(t)=A,t^4 + B,t^2 + C,
com A,B,Cin R. Para que P seja de grau exatamente 4, precisamos de Aneq0.

Passo 4

Voltando à variável x, como t=x-tfrac12, obtemos
P(x)=Ql(x-tfrac12r) =Al(x-tfrac12r)^4 + Bl(x-tfrac12r)^2 + C,
que é a forma geral de todo polinômio de grau até 4 satisfazendo P(x)=P(1-x).

Resposta

P(x) = Al(x-tfrac12r)^4 + Bl(x-tfrac12r)^2 + C,
com A,B,Cin R e, se quisermos grau exatamente 4, então Aneq0.

Exercícios de Livros Relacionados