Ache os polinômios
do 4? grau que verificam a identidade
.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os polinômios
de grau até 4 que satisfazem a identidade
Esse é um problema de simetria: polinômios que não mudam quando trocamos
por
, ou seja, são “espelhados” em torno de
. Vamos usar mudança de variável e a ideia de função par.
Passo 2
Fazemos a troca
e definimos
Então
A identidade
vira
logo
é uma função par em
.
Passo 3
Um polinômio par de grau até 4 em
só tem termos de grau par, isto é, a forma geral é
com
. Para que
seja de grau exatamente 4, precisamos de
.
Passo 4
Voltando à variável
, como
, obtemos
que é a forma geral de todo polinômio de grau até 4 satisfazendo
.
Resposta
com
e, se quisermos grau exatamente 4, então
.