13.4.2 Ache as relações de recorrência de Legendre, Chebyshev I e Chebyshev II correspondentes à função hipergeométrica contígua, Equação (13.134).

Passo 1

O enunciado quer que apliquemos a relação de contiguidade do hipergeométrico
_2F_1(a,b;c;z) (Eq. ( 13.134)) aos casos particulares que definem os polinômios:
– Para os polinômios de Legendre
P_n(x)=\,_2F_1(-n,n+1;1;z),\quad z=\tfrac{1-x}2.
– Para os polinômios de Chebyshev de 1. espécie
T_n(x)=\,_2F_1(-n,n;\tfrac12;z),\quad z=\tfrac{1-x}2.
– Para os polinômios de Chebyshev de 2. espécie
U_n(x)=(n+1)\,_2F_1(-n,n+2;\tfrac32;z),\quad z=\tfrac{1-x}2.
Em cada caso fazemos a=-n (para avançar/retroceder n), escolhemos b,c e traduzimos o deslocamento de a em relações entre P_{n\pm1}, T_{n\pm1} ou U_{n\pm1}.

Passo 2

Legendre. Substituindo a=-n, b=n+1, c=1, z=\frac{1-x}{2} na Eq. ( 13.134) obtém-se
(n+1)\,P_{n+1}(x)\;-\; (2n+1)\,x\,P_n(x)\;+\;n\,P_{n-1}(x)\;=\;0.

Passo 3

Chebyshev I. Com a=-n, b=n, c=\tfrac12, z=(1-x)/2 a mesma Eq. ( 13.134) vira
T_{n+1}(x)\;-\;2\,x\,T_n(x)\;+\;T_{n-1}(x)\;=\;0.

Passo 4

Chebyshev II. Tomando a=-n, b=n+2, c=\tfrac32, z=(1-x)/2 e lembrando que
\;U_n(x)=(n+1)\,_2F_1(-n,n+2;3/2;z), a Eq. ( 13.134) leva a
U_{n+1}(x)\;-\;2\,x\,U_n(x)\;+\;U_{n-1}(x)\;=\;0.

Resposta

Legendre:
(n+1)\,P_{n+1}(x)\;-\;(2n+1)\,x\,P_n(x)\;+\;n\,P_{n-1}(x)\;=\;0.
Chebyshev I:
T_{n+1}(x)\;-\;2\,x\,T_n(x)\;+\;T_{n-1}(x)\;=\;0.
Chebyshev II:
U_{n+1}(x)\;-\;2\,x\,U_n(x)\;+\;U_{n-1}(x)\;=\;0.

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