Transforme os seguintes polinômios em funções hipergeométricas de argumento x^{2}.
(b) x^{-1} T_{2 n+1}(x)

Passo 1

O enunciado pede para escrever
x^{-1}T_{2n+1}(x)
como função hipergeométrica de argumento x^2.
Aqui T_{m}(x)=\cos\bigl(m\operatorname{arccos} x\bigr) é o polinômio de Chebyshev de primeira espécie.
Vamos usar a expansão em série de potências de T_{2n+1}(x) e a série de {}_2F_1 para identificar a forma desejada.

Passo 2

Como T_{2n+1}(x) tem termo líder
T_{2n+1}(x)=2^{2n}x^{2n+1}+\dots
dividimos por x e obtemos um polinômio par de grau 2n.
Portanto podemos escrever
x^{-1}T_{2n+1}(x)=A_n\;{}_2F_1\bigl(-n,\;n+1;\tfrac32;\;x^2\bigr),
em que A_n é uma constante independente de x.

Passo 3

Para achar A_n igualamos o coeficiente de x^{2n} em ambos os lados.
No lado esquerdo o coeficiente de x^{2n} é 2^{2n}.
No lado direito, a expansão de
{}_2F_1(-n,n+1;3/2;z) em z=x^2 tem termo de ordem z^n dado por
\frac{(-n)_n\,(n+1)_n}{\bigl(\tfrac32\bigr)_n\,n!}\,z^n =\frac{(-1)^n\,n!\,(2n)!/n!}{(3/2)_n\,n!}\,x^{2n} =\;(-1)^n\;\frac{(2n)!}{(3/2)_n\,n!}\;x^{2n}.
Multiplicando por A_n, esse coeficiente deve ser igual a 2^{2n}. Logo
A_n\;(-1)^n\,\frac{(2n)!}{(3/2)_n\,n!}\;=\;2^{2n} \quad\Longrightarrow\quad A_n =(-1)^n\,2^{2n}\,\frac{(3/2)_n\,n!}{(2n)!}\,.

Passo 4

Usamos a identidade do Pochhammer
\bigl(\tfrac32\bigr)_n =\frac{\Gamma(n+\tfrac32)}{\Gamma(\tfrac32)} =\frac{(2n+1)!}{2^{2n}\,n!}\,,
para obter
A_n =(-1)^n\,2^{2n}\, \frac{\displaystyle\frac{(2n+1)!}{2^{2n}\,n!}\;n!}{(2n)!} =(-1)^n\;\frac{(2n+1)!}{(2n)!} =(-1)^n\,(2n+1).

Resposta

\boxed{ x^{-1}T_{2n+1}(x) = (-1)^n\,(2n+1)\; {}_2F_1\bigl(-n,\;n+1;\tfrac32;\;x^2\bigr). }

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