13.4.1 (a) Para
, inteiro, e
e
não-inteiros, mostre que
apresentam como resultado só uma solução para a equação hipergeométrica.
(b) O que acontece se
for um inteiro, digamos,
e
?
(b) O que acontece se
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial hipergeométrica
cuja base de soluções em torno de
é dada por
Na parte (a) devemos mostrar que, se
e
, essas duas fórmulas não fornecem duas soluções independentes em séries de potências, mas apenas uma. Na parte (b) vamos ver o que acontece quando também
é inteiro, por exemplo
e
.
Passo 2
Recordando a definição de série de Frobenius, a solução
existe desde que nenhum termo do denominador
se anule.
Passo 3
Suponha agora
e
. Então
e existe um
tal que
Isso faz com que o coeficiente da série em
seja
no termo
, ou seja a série não é bem-definida como potência de
. Em vez disso, o segundo membro de solução adquire um termo em
e deixa de ser uma série hipergeométrica regular. Logo, das duas fórmulas originais apenas
é uma solução em série de potências — não há segunda solução hipergeométrica analítica pura.
Passo 4
Agora, se além de
inteiro tomarmos
inteiro, digamos
e
, então
termina em
(pois
), virando um polinômio de grau 1. Por outro lado
tem denominador
para todo
, logo essa série convergente existe normalmente. Assim surgem duas soluções independentes: o polinômio de grau 1 e a série que começa em
.
Resposta
(a) Quando
é inteiro mas
não são, o segundo candidato
não pode ser expandido em série de potências (o Pochhammer
zera), de modo que só resta
como única solução analítica em
.
(b) Se também
é inteiro (por exemplo
,
), então
termina num polinômio (grau 1) e
é outra série bem-definida, restabelecendo duas soluções independentes.