13.4.1 (a) Para c, inteiro, e a e b não-inteiros, mostre que
{ }_{2} F_{1}(a, b ; c ; x) \quad \text { e } \quad x^{1-c}{ }_{2} F_{1}(a+1-c, b+1-c ; 2-c ; x)
apresentam como resultado só uma solução para a equação hipergeométrica.
(b) O que acontece se a for um inteiro, digamos, a=-1 e c=-2 ?

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial hipergeométrica
x(1-x)y''+[\,c-(a+b+1)x\,]y'-ab\,y=0
cuja base de soluções em torno de x=0 é dada por
y_1(x)={}_2F_1(a,b;c;x), \qquad y_2(x)=x^{1-c}\,{}_2F_1\bigl(a+1-c,\;b+1-c;\;2-c;\;x\bigr).
Na parte (a) devemos mostrar que, se c\in\mathbb{Z} e a,b\notin\mathbb{Z}, essas duas fórmulas não fornecem duas soluções independentes em séries de potências, mas apenas uma. Na parte (b) vamos ver o que acontece quando também a é inteiro, por exemplo a=-1 e c=-2.

Passo 2

Recordando a definição de série de Frobenius, a solução
y_2(x)=x^{1-c}\sum_{n=0}^\infty\frac{(a+1-c)_n\,(b+1-c)_n}{(2-c)_n\,n!}\;x^n
existe desde que nenhum termo do denominador (2-c)_n se anule.

Passo 3

Suponha agora c\in\mathbb{Z} e a,b\notin\mathbb{Z}. Então 2-c\in\mathbb{Z} e existe um n_0=c-1 tal que
(2-c)_{n_0}=(2-c)(3-c)\cdots(n_0+1-c)=0.
Isso faz com que o coeficiente da série em y_2 seja \tfrac{\dots}{0} no termo n=n_0, ou seja a série não é bem-definida como potência de x. Em vez disso, o segundo membro de solução adquire um termo em \ln x e deixa de ser uma série hipergeométrica regular. Logo, das duas fórmulas originais apenas
y_1(x)={}_2F_1(a,b;c;x)
é uma solução em série de potências — não há segunda solução hipergeométrica analítica pura.

Passo 4

Agora, se além de c inteiro tomarmos a inteiro, digamos a=-1 e c=-2, então
{}_2F_1(-1,b;-2;x) =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)_n\,(b)_n}{(-2)_n\,n!}\,x^n
termina em n=1 (pois (-1)_2=0), virando um polinômio de grau 1. Por outro lado
x^{1-(-2)}\,{}_2F_1\bigl(-1+1-(-2),\,b+1-(-2);\,2-(-2);\,x\bigr) =x^3\,{}_2F_1(2,b+3;4;x)
tem denominador (4)_n\neq0 para todo n, logo essa série convergente existe normalmente. Assim surgem duas soluções independentes: o polinômio de grau 1 e a série que começa em x^3.

Resposta

(a) Quando c é inteiro mas a,b não são, o segundo candidato
x^{1-c}\,{}_2F_1(a+1-c,b+1-c;2-c;x)
não pode ser expandido em série de potências (o Pochhammer (2-c)_n zera), de modo que só resta
{}_2F_1(a,b;c;x)
como única solução analítica em x=0.
(b) Se também a é inteiro (por exemplo a=-1, c=-2), então
{}_2F_1(-1,b;-2;x)
termina num polinômio (grau 1) e
x^3\,{}_2F_1(2,b+3;4;x)
é outra série bem-definida, restabelecendo duas soluções independentes.

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