Ache os seguintes números com precisão até a terceira casa decimal:
ln 2

Passo 1

O enunciado pede para aproximar ln 2 com erro máximo de 5times10^-4 (para garantir a precisão até a terceira casa decimal). Vamos usar uma série que converge rapidamente para ln2 e o critério do resto de série alternada.

Passo 2

Observe que, para x em (-1,1), vale a identidade
ln1+x1-x=2l(x+x^33+x^55+cdotsr)
Bastando escolher x tal que 1+x1-x=2. Resolvendo 1+x1-x=2 x=tfrac13. Logo
ln2=ln1+tfrac131-tfrac13 =2sumn=1^infty12n-1l(13r)^2n-1

Passo 3

Definimos o termo geral da série como
an = 2;12n-1l(13r)^2n-1,
de modo que ln2 = sumn=1^infty an. O resto da série alternada satisfaz
l|RNr|<= aN+1
Para atingir erro menor que 5times10^-4, basta tomar N tal que aN+1<5times10^-4.

Passo 4

Calculamos os primeiros termos an e as somas parciais SN:
a1 = 2cdot11l(13r)^1 = 23approx0,666667,
a2 = 2cdot13l(13r)^3 = 281approx0,024691,
a3 = 2cdot15l(13r)^5 = 21215approx0,001646,
a4 = 2cdot17l(13r)^7 = 215309approx0,000131
As somas parciais são
S1approx0,666667, S2approx0,691358, S3approx0,693004, S4approx0,693135
Note que a5<0,00001<5times10^-4, então S4 já garante três casas decimais corretas.

Resposta

ln2approx0,693 (precisão até a terceira casa decimal)

Exercícios de Livros Relacionados