Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
tg x

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da Série de Maclaurin de tan x, o intervalo de convergência dessa série e verificar se a soma da série é de fato tan x. Vamos usar séries de Taylor, expansão de sin x e cos x, e análise de singularidades para o raio de convergência.

Passo 2

Recordamos as séries de Maclaurin de sin x e cos x:
sin x = x - x^36 + x^5120 + O(x^7),
cos x = 1 - x^22 + x^424 + O(x^6)
Como tan x = dfracsin xcos x, vamos dividir essas séries.

Passo 3

Escrevemos
1cos x = 11 - tfracx^22 + tfracx^424 + O(x^6) = 1 + x^22 + 5,x^424 + O(x^6),
pois usamos 1/(1 - a)=1+a+a^2+cdots com a=tfracx^22-tfracx^424.

Passo 4

Multiplicamos sin x pela expansão de 1/cos x:
tan x = l(x - tfracx^36 + tfracx^5120r)l(1 + tfracx^22 + tfrac5x^424r) + O(x^7)
Calculando coeficiente a coeficiente:
  • Termo em x: x.
  • Termo em x^3: 1cdottfracx^32 - tfracx^36 = tfrac12-tfrac16=tfrac13
  • Termo em x^5: xcdottfrac5x^424 - tfracx^36cdottfracx^22 + tfracx^5120 = tfrac524-tfrac112+tfrac1120 = tfrac25-10+1120=tfrac16120=tfrac215

Passo 5

Logo, os três primeiros termos não nulos são
tan x = x + x^33 + 2,x^515 + O(x^7)

Passo 6

Para o intervalo de convergência, observamos que tan x tem polos em x=pmpi2. Portanto o raio de convergência é
R = pi2,
isto é, a série converge para |x|<tfracpi2.

Passo 7

Como tan x é holomorfa em |x|<tfracpi2, a série de Maclaurin converge uniformemente nesse intervalo e soma-se precisamente à função tan x para |x|<tfracpi2.

Resposta

Os três primeiros termos não nulos são
tan x = x + x^33 + 2,x^515 + cdots
O intervalo de convergência é |x|<tfracpi2, e nessa faixa a soma da série é exatamente tan x.

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