Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
Passo 1
O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da Série de Maclaurin de
, o intervalo de convergência dessa série e verificar se a soma da série é de fato
. Vamos usar séries de Taylor, expansão de
e
, e análise de singularidades para o raio de convergência.
Passo 2
Recordamos as séries de Maclaurin de
e
:
Como
, vamos dividir essas séries.
Passo 3
Escrevemos
pois usamos
com
.
Passo 4
Multiplicamos
pela expansão de
:
Calculando coeficiente a coeficiente:
- Termo em
: . - Termo em
: - Termo em
:
Passo 5
Logo, os três primeiros termos não nulos são
Passo 6
Para o intervalo de convergência, observamos que
tem polos em
. Portanto o raio de convergência é
isto é, a série converge para
.
Passo 7
Como
é holomorfa em
, a série de Maclaurin converge uniformemente nesse intervalo e soma-se precisamente à função
para
.
Resposta
Os três primeiros termos não nulos são
O intervalo de convergência é
, e nessa faixa a soma da série é exatamente
.