Ache os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin para as seguintes funções:
integral0^x sen t ln (1+t) d t

Passo 1

Temos a função
F(x)=integral0^xsin t;ln(1+t),dt,
e queremos os três primeiros termos não nulos de sua série de Maclaurin. Para isso vamos usar:
  1. as expansões de Maclaurin de sin t e de ln(1+t),
  2. multiplicar essas séries para achar a série do integrando,
  3. integrar termo a termo e extrair os três primeiros termos não nulos.

Passo 2

Escrevemos as expansões até ordem t^5:
sin t = t - t^36 + t^5120 + cdots
ln(1+t) = t - t^22 + t^33 - t^44 + t^55 + cdots

Passo 3

Multiplicando termo a termo e coletando potências até t^5,
sin t;ln(1+t) = l(t - tfract^36 + tfract^5120+cdotsr) l(t - tfract^22 + tfract^33 - tfract^44 + tfract^55+cdotsr)
= t^2 - tfrac12t^3 + tfrac16t^4 + tfrac130t^5 + O(t^6)

Passo 4

Agora integramos de 0 a x termo a termo:
F(x) = integral0^xl(t^2 - tfrac12t^3 + tfrac16t^4 + cdotsr),dt = x^33 - x^48 + x^530 + O(x^6)

Passo 5

Os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de F(x) são
x^33, -x^48, x^530

Resposta

F(x)=x^33-x^48+x^530+cdots

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