Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
ln ^2(1-x)

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de ln^2(1-x). Vamos usar expansão em série de potências e produto de séries (Cauchy).

Passo 2

Sabemos que, para |x|<1,
ln(1-x) = -sumn=1^infty x^nn
Então
ln^2(1-x) =l(-sumn=1^infty x^nnr)^2 =sumn=1^inftysumm=1^infty x^n+mnm
Pelo produto de Cauchy, o coeficiente de x^k é
ck = sumn=1^k-11n(k-n)

Passo 3

Calculando para k=2,3,4:
c2 = 1, c3 = 1, c4 = tfrac1112.
Logo os três primeiros termos não nulos são
x^2 + x^3 + 1112x^4

Passo 4

A série resultante converge para ln^2(1-x) em |x|<1, pois é produto de séries absolutamente convergentes nesse intervalo.

Resposta

ln^2(1-x) = x^2 + x^3 + 1112x^4 + cdots
para |x|<1.

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