Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e verifique se a soma é a função dada.
x sen x^2 em x=0

Passo 1

O enunciado pede a Série de Taylor (Maclaurin) de
f(x)=xsinl(x^2r)
em x=0. Vamos usar o desenvolvimento em série de Maclaurin de sin t e, em seguida, compor t=x^2 e multiplicar por x.

Passo 2

Recordando a série de Maclaurin de sin t, válida para todo t, temos
sin t = sumn=0^infty(-1)^nt^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Fazendo a substituição t = x^2, obtemos
sinl(x^2r) = sumn=0^infty(-1)^n(x^2)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty(-1)^nx^4n+2(2n+1)!

Passo 4

Finalmente, multiplicamos por x para recuperar f(x):
xsinl(x^2r) = xsumn=0^infty(-1)^nx^4n+2(2n+1)! = sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(2n+1)!

Resposta

xsinl(x^2r) = sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(2n+1)!

Exercícios de Livros Relacionados