Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e verifique se a soma é a função dada.
sen x em x=pi / 3

Passo 1

O enunciado pede a Série de Taylor de f(x)=sin x centrada em x0=pi/3. Vamos usar a definição
sin x = sumn=0^infty f^(n)(x0)n!,(x - x0)^n
e calcular f^(n)(pi/3).

Passo 2

As derivadas de sin x formam o ciclo
sin x, cos x, -sin x, -cos x, sin x,dots
e, avaliando em x0=pi/3:
f(pi/3)=sin(pi/3)=raiz32, f'(pi/3)=cos(pi/3)=12,
f''(pi/3)=-sin(pi/3)=-raiz32, f'''(pi/3)=-cos(pi/3)=-12,
e a cada quatro ordem a sequência se repete.

Passo 3

Substituindo na fórmula de Taylor obtemos
sin x =sumn=0^inftyf^(n)(pi/3)n!(x-tfracpi3)^n =raiz32 +12(x-tfracpi3) -raiz32(x-tfracpi3)^22! -12(x-tfracpi3)^33! +cdots
Em forma de termo geral, para k=0,1,2,3 módulo 4:
an=f^(n)(pi/3)n! = raiz3/2n!,&nequiv0pmod4,[6pt] 1/2n!,&nequiv1pmod4,[6pt] -raiz3/2n!,&nequiv2pmod4,[6pt] -1/2n!,&nequiv3pmod4 ]

Passo 4

Como sin x é inteira (analítica em todo R), o raio de convergência é infinito. Pelo teorema de Taylor, a soma da série é exatamente sin x.

Resposta

sin x =raiz32 +12l(x-tfracpi3r) -raiz32l(x-tfracpi3r)^22! -12l(x-tfracpi3r)^33! +cdots,
com raio de convergência R=infty e soma igual a sin x.

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