Ache a Série de Taylor para cada uma das seguintes funções, no centro especificado. Para aquelas indicadas com um asterisco, determine o raio de convergência e verifique se a soma é a função dada.
Passo 1
O enunciado pede a Série de Taylor de centrada em . Vamos usar a definição
e calcular .
Passo 2
As derivadas de formam o ciclo
e, avaliando em :
e a cada quatro ordem a sequência se repete.
Passo 3
Substituindo na fórmula de Taylor obtemos
Em forma de termo geral, para módulo :
]
Passo 4
Como sin x é inteira (analítica em todo R), o raio de convergência é infinito. Pelo teorema de Taylor, a soma da série é exatamente sin x.
Resposta
sin x =raiz32 +12l(x-tfracpi3r) -raiz32l(x-tfracpi3r)^22! -12l(x-tfracpi3r)^33! +cdots,
com raio de convergência R=infty e soma igual a sin x.
Cálculo - Wilfred Kaplan - Calculo Avancado - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 8.8.21 - Ex. 1.g