Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto solução:
|x^2-5 x+4||x^2-4|<1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
l|x^2-5x+4r|l|x^2-4r|<1
O conteúdo envolvido é inequação de módulo e polinômios. Vamos precisar:
  1. Determinar o domínio (zeros do denominador).
  2. Usar a equivalência lvert Arvert<lvert Brvertiff A^2<B^2.
  3. Fatorar e montar quadro de sinais.

Passo 2

Primeiro, o denominador não pode ser zero, ou seja
x^2-4neq0implies xneq2, xneq-2
Portanto o domínio é xinRsetminus-2,2

Passo 3

Aplicamos a ideia de quadrados:
l|x^2-5x+4r|l|x^2-4r|<1 Long<=ftrightarrow l(x^2-5x+4r)^2<l(x^2-4r)^2

Passo 4

Reconhecemos diferença de quadrados:
l(x^2-5x+4r)^2-l(x^2-4r)^2 <0
l[(x^2-5x+4)-(x^2-4)r] l[(x^2-5x+4)+(x^2-4)r]<0
Simplificando cada fator:
(x^2-5x+4)-(x^2-4)=-5x+8, (x^2-5x+4)+(x^2-4)=2x^2-5x
Logo a inequação vira
(-5x+8),(2x^2-5x)<0
Fatorando mais
2x^2-5x=x(2x-5),
então
(-5x+8),x,(2x-5)<0
Multiplicando por -1 e invertendo o sinal:
(5x-8),x,(2x-5)>0

Passo 5

Os zeros desse produto são x=0, x=tfrac85 e x=tfrac52, além das descontinuidades x=pm2. Montamos o quadro de sinais em cada intervalo:
Intervalo sinal de 5x-8 sinal de x sinal de 2x-5 produto
(-infty,-2) - - - -
(-2,0) - - - -
(0,tfrac85) - + - +
(tfrac85,2) + + - -
(2,tfrac52) + + - -
(tfrac52,infty) + + + +
Queremos produto >0, portanto os intervalos válidos são
(0,tfrac85) e (tfrac52,infty),
lembrando de excluir pm2 que já não entram nesses intervalos.

Passo 6

Portanto a solução da inequação é
xinl(0,tfrac85r),cup,l(tfrac52,inftyr)
No eixo real marcamos 0, tfrac85 e tfrac52 com bolinhas abertas, e sombreiam-se os segmentos entre 0 e tfrac85 e a partir de tfrac52 indo para a direita.

Resposta

boxedxinl(0,tfrac85r)cupl(tfrac52,inftyr)

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