(AFA-00) Seja (x.y,z,w) uma progressão aritmética crescente cuja soma é 10 e ( a, b, c, d ) uma progressão geomètrica com a+b=1 e c +d=9. Se ambas têm a mesma razão, cntão o produto yw é
a) -8
b) -2
c) 7
d) 9

Passo 1

O enunciado dá uma progressão aritmética crescente (x,y,z,w) de soma 10 e uma progressão geométrica (a,b,c,d) tais que a+b=1 e c+d=9. Ambas têm a mesma razão, digamos r. Queremos y\,w.

Passo 2

Na progressão aritmética de razão r e primeiro termo A, temos
x=A,\quad y=A+r,\quad z=A+2r,\quad w=A+3r,
e a soma
x+y+z+w=4A+6r=10.
Logo,
2A+3r=5 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{5-3r}{2}.

Passo 3

Na progressão geométrica de razão r e primeiro termo a, vale
b=a\,r,\quad c=a\,r^2,\quad d=a\,r^3.
Como a+b=1, temos
a(1+r)=1 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac1{1+r}.
E como c+d=9, vem
a\,r^2+a\,r^3=a\,r^2(1+r)=\frac{r^2(1+r)}{1+r}=r^2=9 \quad\Longrightarrow\quad r^2=9.

Passo 4

Da aritmética ser crescente segue r>0, logo r=3. Substituindo em A=\frac{5-3r}{2},
A=\frac{5-9}{2}=-2.
Assim
y=A+r=-2+3=1, \quad w=A+3r=-2+9=7,
e
y\,w=1\cdot7=7.

Resposta

7

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