(Colégio Naval-2004/2005) Considere o triângulo escaleno ABC e os pontos P e Q pertencentes ao plano de ABC e Exteriores a esse triângulo. Se: as medidas dos ângulos PAC e QBC são iguais; as medidas dos ângulos PCA e QCB são iguais; M é o ponto médio de \mathrm{AC} ; \mathrm{N} é o ponto médio de \mathrm{BC} ; \mathrm{S}_{1} é a área do triangulo PAM; \mathrm{S}_{2} é a área do triângulo \mathrm{QBN} ; \mathrm{S}_{3} é a área do triângulo PMC; e \mathrm{S}_{4} é a área do triangulo QNC, analise as afirmativas:
1- S_{1} está para S_{4}, assim como S_{3} está para S_{2}.
II -S_{1} está para S_{2}, assim como (PM) { }^{2} está para (\mathrm{QN})^{2}.
III - \mathrm{S}_{1} está para \mathrm{S}_{3}, assim como \mathrm{S}_{2} está para \mathrm{S}_{4}.
Logo pode-se concluir, corretamente, que
a) apenas a afirmativa I é verdadeira.
b) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
d) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado considera o triângulo escaleno ABC e pontos P,Q fora dele, com
  1. \angle PAC=\angle QBC;
  2. \angle PCA=\angle QCB.
    Temos os pontos médios M de AC e N de BC, e as áreas
    \,S_{1}=[PAM],\,S_{2}=[QBN],\,S_{3}=[PMC],\,S_{4}=[QNC].
    O conteúdo principal é usar semelhança de triângulos e razões de área para checar as afirmativas I, II e III.

Passo 2

Pelas condições de ângulos iguais obtemos a semelhança
\triangle PAC\sim\triangle QBC
com correspondência P\leftrightarrow Q,\;A\leftrightarrow B,\;C\leftrightarrow C.
Daí
\frac{PA}{QB}=\frac{AC}{BC} \quad\text{e}\quad \frac{PC}{QC}=\frac{AC}{BC}.

Passo 3

Usando base em AC e altura relativa em P, e base em BC e altura relativa em Q, temos
S_{1}=\tfrac12\,PA\cdot AM\;\sin\angle PAC,\quad AM=\tfrac{AC}{2},
S_{2}=\tfrac12\,QB\cdot BN\;\sin\angle QBC,\quad BN=\tfrac{BC}{2},
S_{3}=\tfrac12\,PC\cdot MC\;\sin\angle PCA,\quad MC=\tfrac{AC}{2},
S_{4}=\tfrac12\,QC\cdot NC\;\sin\angle QCB,\quad NC=\tfrac{BC}{2}.

Passo 4

Testando I: “ S_{1}:S_{4}=S_{3}:S_{2}”.
\frac{S_{1}}{S_{4}} =\frac{PA}{QC}\,\frac{AC}{BC}\,\frac{\sin\angle PAC}{\sin\angle QCB}, \quad \frac{S_{3}}{S_{2}} =\frac{PC}{QB}\,\frac{AC}{BC}\,\frac{\sin\angle PCA}{\sin\angle QBC}.
Como em geral \sin\angle PAC\neq\sin\angle QCB e \sin\angle PCA\neq\sin\angle QBC, não se obtém igualdade, logo I é falsa.

Passo 5

Testando II: “ S_{1}:S_{2}=(PM)^{2}:(QN)^{2}”.
Primeiro
\frac{S_{1}}{S_{2}} =\frac{PA}{QB}\,\frac{AM}{BN} =\frac{AC}{BC}\cdot\frac{AC}{BC} =\Bigl(\frac{AC}{BC}\Bigr)^{2}.
Por outro lado, pelo teorema de Apolônio em cada mediana,
PM^{2}=\frac{2(PA^{2}+PC^{2})-AC^{2}}{4}, \quad QN^{2}=\frac{2(QB^{2}+QC^{2})-BC^{2}}{4}.
Como PA/QB=PC/QC=AC/BC, deduz-se
\frac{PM^{2}}{QN^{2}} =\Bigl(\frac{AC}{BC}\Bigr)^{2} =\frac{S_{1}}{S_{2}},
logo II é verdadeira.

Passo 6

Testando III: “ S_{1}:S_{3}=S_{2}:S_{4}”.
\frac{S_{1}}{S_{3}} =\frac{PA}{PC}\,\frac{\sin\angle PAC}{\sin\angle PCA}, \quad \frac{S_{2}}{S_{4}} =\frac{QB}{QC}\,\frac{\sin\angle QBC}{\sin\angle QCB}.
Mas da semelhança vem \frac{PA}{PC}=\frac{QB}{QC} e \angle PAC\sim\angle QBC,\;\angle PCA\sim\angle QCB, então
\frac{\sin\angle PAC}{\sin\angle PCA} =\frac{\sin\angle QBC}{\sin\angle QCB},
daí S_{1}/S_{3}=S_{2}/S_{4}, logo III é verdadeira.

Resposta

d) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.

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