(Colégio Naval-2004/2005) Considere o triângulo escaleno ABC e os pontos P e Q pertencentes ao plano de ABC e Exteriores a esse triângulo. Se: as medidas dos ângulos PAC e QBC são iguais; as medidas dos ângulos PCA e QCB são iguais; M é o ponto médio de
é o ponto médio de
é a área do triangulo PAM;
é a área do triângulo
é a área do triângulo PMC; e
é a área do triangulo QNC, analise as afirmativas:
1-
está para
, assim como
está para
.
II
está para
, assim como (PM)
está para
.
III -
está para
, assim como
está para
.
Logo pode-se concluir, corretamente, que
a) apenas a afirmativa I é verdadeira.
b) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
d) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
1-
II
III -
Logo pode-se concluir, corretamente, que
a) apenas a afirmativa I é verdadeira.
b) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
d) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado considera o triângulo escaleno
e pontos
fora dele, com
-
; -
.
Temos os pontos médiosde e de , e as áreas
O conteúdo principal é usar semelhança de triângulos e razões de área para checar as afirmativas I, II e III.
Passo 2
Pelas condições de ângulos iguais obtemos a semelhança
com correspondência
.
Daí
Daí
Passo 3
Usando base em
e altura relativa em
, e base em
e altura relativa em
, temos
Passo 4
Testando I: “
”.
Como em geral
e
, não se obtém igualdade, logo I é falsa.
Passo 5
Testando II: “
”.
Primeiro
Primeiro
Por outro lado, pelo teorema de Apolônio em cada mediana,
Como
, deduz-se
logo II é verdadeira.
Passo 6
Testando III: “
”.
Mas da semelhança vem
e
, então
daí
, logo III é verdadeira.
Resposta
d) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.