(AFA-12) Sejam (1, az, a.3, a.1) e (1, b_{2}, b_{3}, b_{4} ) uma progressão aritmética c uma progressão geométrica.
respectivamente, ambas com a mesma soma dos termos e ambas crescentes. Se a razão r da progressão aritmética é o dobro da razão q da progressão geométrica, então, o produto r.q é igual a
a) 15
b) 18
c) 21

Passo 1

O enunciado dá duas sequências de quatro termos crescentes com o mesmo primeiro termo 1 e a mesma soma:
– Uma progressão aritmética (PA) com razão r e termos
1,\;1+r,\;1+2r,\;1+3r.
– Uma progressão geométrica (PG) com razão q e termos
1,\;q,\;q^2,\;q^3.
Além disso, sabe-se que r=2q. Vamos usar a fórmula da soma dos termos de PA e PG e resolver para q, depois obter r e finalmente r\cdot q.

Passo 2

Calcular a soma dos quatro termos de cada sequência:
– Soma da PA:
S_{\text{PA}} = 1 + (1+r) + (1+2r) + (1+3r) = 4 + 6r.
– Soma da PG:
S_{\text{PG}} = 1 + q + q^2 + q^3.
Como as somas são iguais e r=2q, substituímos em S_{\text{PA}}:
S_{\text{PA}} = 4 + 6(2q) = 4 + 12q.

Passo 3

Igualar as somas e montar a equação em q:
1 + q + q^2 + q^3 = 4 + 12q \quad\Longrightarrow\quad q^3 + q^2 + q + 1 - 4 -12q = 0
\Longrightarrow\quad q^3 + q^2 -11q -3 = 0.

Passo 4

Resolver q^3 + q^2 -11q -3=0. Testando raízes inteiras, q=3 satisfaz
27 + 9 -33 -3 = 0.
Fazendo a divisão sintética ou fatoração, o polinômio se decompõe como
(q - 3)(q^2 + 4q + 1) = 0.
As outras raízes de q^2 + 4q + 1=0 são negativas, mas precisamos de q>1 para a PG ser crescente. Logo, q=3.

Passo 5

Como r=2q, temos r=2\cdot 3 =6. Portanto,
r\cdot q = 6 \cdot 3 = 18.

Resposta

18

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