(IBMEC-05) Uma bola de borracha é solta a 1 m de altura do chào. Cada vez que esta bola se choca com o chào, ela volta a subir, sempre percorrendo uma trajetória totalmente vertical. Entretanto, por causa de fenômenos misteriosos da natureza, a cada choque com o chão a bola atinge uma altura igual a 80 \% da altura que havia atingido antes desse choque. Calcule o limite da soma dos espaços percorridos pela bola em todo o processo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma bola de borracha solta de uma altura inicial de 1 m. Cada vez que ela bate no chão, ela retorna a subir até uma altura igual a 80\% da altura anterior, ou seja, 0,8 vezes a altura anterior. O movimento é sempre vertical e ocorre infinitas vezes. Para achar o espaço total percorrido, vamos modelar as quedas e subidas como uma soma infinita de termos de uma série geométrica.

Passo 2

Denotemos por h_0 = 1 m a altura inicial de onde a bola é solta. Após o primeiro choque, ela sobe até
h_1 = 0,8\,h_0 = 0,8.
Em geral, após o i-ésimo choque, a altura atingida é
h_i = (0,8)^i \quad (i=0,1,2,\dots).
O deslocamento vertical total S é a soma da primeira queda h_0 mais, para cada i\ge1, a subida h_i e a queda h_i. Assim
S = h_0 \;+\; \sum_{i=1}^{\infty}\bigl(h_i + h_i\bigr) = 1 + 2\sum_{i=1}^{\infty}(0,8)^i.

Passo 3

Reconhecemos que \sum_{i=1}^{\infty}(0,8)^i é uma série geométrica infinita de primeira termo a=0,8 e razão r=0,8, cuja soma é
\sum_{i=1}^{\infty}(0,8)^i = \frac{0,8}{1-0,8} = \frac{0,8}{0,2} = 4.

Passo 4

Substituindo na expressão de S, obtemos
S = 1 + 2 \times 4 = 1 + 8 = 9.

Resposta

9 m

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