(IBMEC-05) Uma bola de borracha é solta a 1 m de altura do chào. Cada vez que esta bola se choca com o chào, ela volta a subir, sempre percorrendo uma trajetória totalmente vertical. Entretanto, por causa de fenômenos misteriosos da natureza, a cada choque com o chão a bola atinge uma altura igual a
da altura que havia atingido antes desse choque. Calcule o limite da soma dos espaços percorridos pela bola em todo o processo.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma bola de borracha solta de uma altura inicial de
m. Cada vez que ela bate no chão, ela retorna a subir até uma altura igual a
da altura anterior, ou seja,
vezes a altura anterior. O movimento é sempre vertical e ocorre infinitas vezes. Para achar o espaço total percorrido, vamos modelar as quedas e subidas como uma soma infinita de termos de uma série geométrica.
Passo 2
Denotemos por
m a altura inicial de onde a bola é solta. Após o primeiro choque, ela sobe até
Em geral, após o
-ésimo choque, a altura atingida é
O deslocamento vertical total
é a soma da primeira queda
mais, para cada
, a subida
e a queda
. Assim
Passo 3
Reconhecemos que
é uma série geométrica infinita de primeira termo
e razão
, cuja soma é
Passo 4
Substituindo na expressão de
, obtemos