(UFPE-00) Analise as afirmações seguintes acerca da expansão binomial de
(3 x+5)^{13}.
- Existem exatamente dois termos com coeficientes que nào são divisiveis por 13 .
- A soma dos coeficientes é
2^{31}
- O maior coeficiente é
3^{7} \cdot 5^{8} \cdot 11.13
- O menor coeficiente é
3^{1.3}
- A soma dos coeficientes das potências de x com expoentes ímpares é
2^{3 \mathrm{k}}-2^{12} Solução: CCCCC
I) CERTO. O termo geral de
(3 x+5)^{13} é igual a:
T_{p+1}=\binom{13}{p}(3 x)^{13-p}(5)^{p}=3^{13-p} \cdot 5^{5}\binom{13}{p} x^{13-p}
fazendo com que os coeficientes sejam iguais a:
3^{13-p} \cdot 5^{p}\binom{13}{p}=3^{13-p} \cdot 5^{p} \frac{13!}{p!(13-p)!}=13\left(3^{13-p} \cdot 5^{p} \frac{12!}{p!(13-p)!}\right)
Desde que 13 é primo, cada coeficiente binomial nāo será divisivel por 13 se p! ou (13-p)! forem divisiveis por 13. Como
0 \leq p \leq 13. estes fatos ocorrem somente para
p=13 ou
p=0. Desta forma, existem exatamente dois termos (
T_{1} e
T_{14} ) com cocficientes que não sảo divisíveis por 13.
2) CERTO. A soma dos coeficientes pode ser obtida fazendo
x=1 :
S=(3+5)^{13}=8^{13}=2^{34}.
3) CERTO. Seja
C_{p+1}=3^{13-p} \cdot 5^{p}\binom{13}{p} a expressão geral dos coeficientes do termo geral
T_{p+1}. Vamos resolver a inequação
C_{p+1} \geq C_{p} :
3^{13-n} \cdot 5^{p}\binom{13}{p} \geq 3^{14-p} \cdot 5^{p-1}\binom{13}{p-1} \Rightarrow 5 \frac{13!}{p!(13-p)!} \geq 3 \frac{13!}{(p-1)!(14-p)!} \Rightarrow
5 \frac{13!}{p(p-1)!(13-p)!}-3 \frac{13!}{(p-1)!(14-p)(13-p)!} \geq 0 \Rightarrow
\frac{13!}{(p-1)!(13-p)!}\left[\frac{5}{p}-\frac{3}{14-p}\right] \geq 0 \Rightarrow \frac{13!}{(p-1)!(13-p)!} \frac{70-8 p}{p(14-p)} \geq 0 \Rightarrow
\frac{13!}{p!(14-p)!}(70-8 p) \geq 0
Como
\frac{13!}{p!(14-p)!}>0 temos que
70-8 p \geq 0 \Rightarrow p \leq 8,75
Como p é natural, a última inequação é equivalente a p
\leq 8. Assim, desde p
=0 até p
=8 podemos afirmar que
C_{n+1} \geq C_{p}, implicando que o maior dos coeficientes ocorre para
\mathrm{p}=8. Deste modo. seu valor é
C_{9}=3^{5} \cdot 5^{x} \frac{13!}{8!\cdot 5!}=3^{5} \cdot 5^{x} \cdot \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}=3^{5} \cdot 5^{x} \cdot 3^{2} \cdot 11 \cdot 13=3^{7} \cdot 5^{x} \cdot 11 \cdot 13
- CERTO. No item anterior demonstramos que de
p=0 até
p=8 os coeficientes binomiais aumentam. Analogamente, se resolvêssemos a inequação
C_{p-1} \geq C_{p}, chegaríamos a solução
p \geq 8,75, ou seja,
p \geq 9. Assim, desde
p=9 até
p=13 teremos que os coeficientes binomiais decrescem. Desta maneira, os candidatos a menor coeficiente são os termos
T_{1} e
T_{14}. Como
C_{1}=3^{13} e
C_{14}=5^{13}, então o menor coeficiente é
3^{13}.
- CERTO. Observemos que:
(3 x+5)^{13}=C_{1} \cdot x^{13}+C_{2} \cdot x^{12}+C_{3} \cdot x^{11}+C_{4} \cdot x^{10}+\ldots+C_{13} \cdot x+C_{14}
Fazendo
x=1 obtemos:
\quad C_{1}+C_{2}+C_{3}+C_{4}+\ldots+C_{13}+C_{14}=2^{39}
Fazendo
x=-1 obtemos:
-C_{1}+C_{2}-C_{3}+C_{4}-\ldots-C_{13}+C_{14}=2^{13}
Subtraindo estas duas expressões:
2\left(C_{1}+C_{3}+\ldots+C_{13}\right)=2^{39}-2^{13} \Rightarrow C_{1}+C_{3}+\ldots+C_{13}=2^{38}-2^{12}