(AFA-99) O valor de \underline{m} que satisfaz a expressão \sum_{k=0}^{m} 3^{k}\binom{m}{k}=1024 \dot{e}
a) 2 .
b) 3 .
c) 4 .
d) 5 .

Passo 1

O enunciado pede encontrar m tal que
\sum_{k=0}^{m}3^{k}\binom{m}{k}=1024.
Vamos usar o Teorema Binomial para reescrever essa soma como uma potência.

Passo 2

O Teorema Binomial afirma que, para quaisquer a e b,
\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}a^{k}b^{\,m-k}=(a+b)^{m}.

Passo 3

No nosso caso, podemos identificar a=3 e b=1. Assim,
\sum_{k=0}^{m}3^{k}\binom{m}{k} =\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}3^{k}1^{\,m-k} =(3+1)^{m}=4^{m}.

Passo 4

Portanto, a igualdade do enunciado fica
4^{m}=1024.
Sabemos que 1024=2^{10} e também 4^{5}=(2^{2})^{5}=2^{10}. Logo a solução inteira é
m=5.

Resposta

5

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