(AFA-04) Se você vai comprar algo que custa cinquenta e cinco centavos, em uma máquina automática, e dispõe de oito moedas de cinco centavos do mesmo modelo e cinco de dez centavos também do mesmo modelo, então, existem n sequências possiveis de introduzir as moedas, totalizando cinquenta e cinco centavos. O valor de n é
a) 133
b) 127
c) 24
d) 4

Passo 1

O enunciado pede o número de sequências de inserção de moedas de 5 c e 10 c que totalizam 55 c, dispondo de até 8 moedas de 5 c e 5 moedas de 10 c. Definimos x = número de moedas de 5 c e y = número de moedas de 10 c. Vamos usar combinatória de permutações de multiconjuntos.

Passo 2

Para totalizar 55 c vale
5x + 10y = 55.
Dividindo por 5 obtemos
x + 2y = 11,
com as restrições 0 \le x \le 8 e 0 \le y \le 5.

Passo 3

Da relação x = 11 - 2y e 0 \le x \le 8 segue
0 \le 11 - 2y \le 8 \quad\Longrightarrow\quad 1{,}5 \le y \le 5{,}5.
Como y é inteiro em [0,5], só restam
y \in \{2,3,4,5\},
com x = 11 - 2y dando x = 7,5,3,1, respectivamente.

Passo 4

Para cada par (x,y) o número de sequências é
\binom{x+y}{x}
(caso de permutação de multiconjunto). Calculando:
y=2,\;x=7\implies \binom{9}{7}=36,
y=3,\;x=5\implies \binom{8}{5}=56,
y=4,\;x=3\implies \binom{7}{3}=35,
y=5,\;x=1\implies \binom{6}{1}=6.

Passo 5

Somando todas as possibilidades obtemos
n = 36 + 56 + 35 + 6 = 133.

Resposta

(a) 133

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