Use sistemas de restos convenientes para provar que:
Se a é ímpar, a^2 equiv 1(bmod 8).

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, para todo inteiro ímpar a, vale
a^2equiv1pmod8
Estamos em aritmética modular, e vamos usar um sistema de restos modulares convenientes para os números ímpares módulo 8.

Passo 2

Como a é ímpar, seu resto na divisão por 8 só pode ser um dos seguintes representantes ímpares:
1,;3,;5,;7
Ou seja, qualquer a ímpar satisfaz
aequiv rpmod8 com rin1,3,5,7

Passo 3

Basta agora verificar r^2bmod8 para cada rin1,3,5,7:
1^2=1equiv1pmod8,
3^2=9equiv1pmod8,
5^2=25equiv1pmod8,
7^2=49equiv1pmod8
Em todos os casos, r^2equiv1pmod8.

Passo 4

Como aequiv rpmod8 implica a^2equiv r^2pmod8, concluímos que, para todo a ímpar,
a^2equiv1pmod8

Resposta

Se (a) é ímpar então a^2equiv1pmod8 éíã

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