(OBM-2001 Nível 1) Seja N o número inteiro positivo dado por
. Qual é o algarismo das unidades de N ?
Passo 1
O enunciado pede o algarismo das unidades de
Isso significa calcular
. Para isso vamos usar aritmética modular e a periodicidade dos quadrados módulo 10.
Passo 2
Observação: o dígito das unidades de
depende apenas de
, e a sequência
módulo 10 é
cuja soma é
Passo 3
Note que
. Como temos
termos, há
períodos completos de 10 números. Cada período contribui com
ao somatório, logo ao total desses períodos cabe
Como
é par,
.
Passo 4
Ficam então os
últimos termos (pois
), correspondentes aos restos
módulo 10. Seus quadrados dão dígitos das unidades
cuja soma é
, e
Resposta
O algarismo das unidades de
é 4.