(OBM-2001 Nível 1) Seja N o número inteiro positivo dado por N=1^2+2^2+3^2+4^2+ldots+ (196883)^2. Qual é o algarismo das unidades de N ?

Passo 1

O enunciado pede o algarismo das unidades de
N = 1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + (196883)^2
Isso significa calcular N bmod 10. Para isso vamos usar aritmética modular e a periodicidade dos quadrados módulo 10.

Passo 2

Observação: o dígito das unidades de k^2 depende apenas de k bmod 10, e a sequência
1^2,2^2,3^2,dots,10^2
módulo 10 é
1,4,9,6,5,6,9,4,1,0,
cuja soma é
1+4+9+6+5+6+9+4+1+0 = 45

Passo 3

Note que 45 bmod 10 = 5. Como temos 196883 termos, há
lfloor 19688310rfloor = 19688
períodos completos de 10 números. Cada período contribui com 45 ao somatório, logo ao total desses períodos cabe
19688 times 45 bmod 10 = 19688 times 5 bmod 10
Como 19688 é par, 19688times5equiv 0pmod10.

Passo 4

Ficam então os 3 últimos termos (pois 196883 = 10cdot19688 + 3), correspondentes aos restos 1,2,3 módulo 10. Seus quadrados dão dígitos das unidades
1^2 equiv 1, 2^2 equiv 4, 3^2 equiv 9 pmod10,
cuja soma é 1+4+9=14, e
14 bmod 10 = 4

Resposta

O algarismo das unidades de N é 4.

Exercícios de Livros Relacionados