Que algarismo deve substituir a letra m , para que o número 5.8 m 6 seja divisível, simultaneamente, por 3 e por 4?

Passo 1

O enunciado pede o algarismo m que torna o inteiro de quatro dígitos, cujo milhar é 5, centena é 8, dezena é m e unidade é 6, simultaneamente divisível por 3 e por 4. Vamos usar os critérios de divisibilidade para esses dois casos.

Passo 2

Critério de divisibilidade por 4: basta que o número formado pelos dois últimos algarismos seja múltiplo de 4. Aqui esse número é
10m + 6
Logo, exigimos
10m + 6 equiv 0 pmod4
Como 10mequiv2mpmod4, isso dá
2m + 6 equiv 0pmod4;Longrightarrow;2mequiv2pmod4;Longrightarrow;mequiv1pmod2
Portanto m deve ser ímpar, ou seja
,min1,3,5,7,9

Passo 3

Critério de divisibilidade por 3: a soma dos algarismos deve ser múltipla de 3. A soma aqui vale
5 + 8 + m + 6 ;=;19 + m
Queremos
19 + m equiv 0 pmod3
Testando os valores ímpares:
  • m=1implies19+1=20notequiv0pmod3
  • m=3implies19+3=22notequiv0pmod3
  • m=5implies19+5=24equiv0pmod3
  • m=7implies19+7=26notequiv0pmod3
  • m=9implies19+9=28notequiv0pmod3

Passo 4

O único valor de m que satisfaz ambos os critérios (ser ímpar e fazer 19+m múltiplo de 3) é m=5.

Resposta

5

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