11.7.27 Em algumas reações de desnudamento nuclear, a seção de choque diferencial é proporcional a
, em que
é o momento angular. A localização do máximo sobre a curva de dados experimentais permite uma determinação de
, se a localização do (primeiro) máximo de
for conhecida. Calcule a localização do primeiro máximo de
e
.
Nota: Para melhor precisão, procure o primeiro zero de
. Por que isso é mais preciso do que a localização direta do máximo?
Nota: Para melhor precisão, procure o primeiro zero de
Passo 1
O enunciado quer a posição do primeiro máximo das funções de Bessel esféricas
para
. O conteúdo aqui é que máximos de uma função ocorrem quando sua derivada é zero. Portanto, em vez de simplesmente buscar o ponto onde
atinge valor máximo por inspeção, vamos resolver
para encontrar exatamente o primeiro
que anula a derivada.
Passo 2
Para
temos a forma explícita
Calculando a derivada e impondo
obtém-se a equação
Fazendo um método de busca numérica (por exemplo bisseção ou Newton) para o primeiro
, encontra-se
Passo 3
Para
usamos
Da condição
segue
Aplicando um procedimento numérico para achar o primeiro zero dessa equação, obtemos
Passo 4
Para
podemos usar a recorrência
ou a forma explícita
A equação
leva a
Resolvida numericamente para o primeiro
, dá
Passo 5
Por que buscar o zero de
é mais preciso do que achar o “pico” diretamente? Porque o máximo está rigorosamente definido pela condição derivada nula, e técnicas de busca de raízes (bisseção, Newton) convergem com alta precisão. Se você apenas avalia
em pontos espaçados e procura o maior valor, o resultado fica sujeito ao espaçamento do grid e à aproximação grosseira do pico.