11.7.27 Em algumas reações de desnudamento nuclear, a seção de choque diferencial é proporcional a jl(x)^2, em que l é o momento angular. A localização do máximo sobre a curva de dados experimentais permite uma determinação de l, se a localização do (primeiro) máximo de jl(x) for conhecida. Calcule a localização do primeiro máximo de j1(x), j2(x) e j3(x).
Nota: Para melhor precisão, procure o primeiro zero de jl^prime(x). Por que isso é mais preciso do que a localização direta do máximo?

Passo 1

O enunciado quer a posição do primeiro máximo das funções de Bessel esféricas
jl(x) para l=1,2,3. O conteúdo aqui é que máximos de uma função ocorrem quando sua derivada é zero. Portanto, em vez de simplesmente buscar o ponto onde jl(x) atinge valor máximo por inspeção, vamos resolver
jl'(x)=0
para encontrar exatamente o primeiro x>0 que anula a derivada.

Passo 2

Para l=1 temos a forma explícita
j1(x)=sin xx^2-cos xx
Calculando a derivada e impondo j1'(x)=0 obtém-se a equação
tan x = x^2-22x,
Fazendo um método de busca numérica (por exemplo bisseção ou Newton) para o primeiro x>0, encontra-se
x1,,maxapprox1,4303

Passo 3

Para l=2 usamos
j2(x)=l(3x^3-1xr)sin x-3x^2cos x
Da condição j2'(x)=0 segue
tan x ;=;x^3-9x4x^2-9
Aplicando um procedimento numérico para achar o primeiro zero dessa equação, obtemos
x2,,maxapprox3,340

Passo 4

Para l=3 podemos usar a recorrência
j3(x)=5x,j2(x)-j1(x),
ou a forma explícita
j3(x)=l(15x^4-6x^2r)sin x-l(15x^3-1xr)cos x
A equação j3'(x)=0 leva a
tan x = 60x-7x^3,x^4-27x^2+60,
Resolvida numericamente para o primeiro x>0, dá
x3,,maxapprox4,526

Passo 5

Por que buscar o zero de jl'(x) é mais preciso do que achar o “pico” diretamente? Porque o máximo está rigorosamente definido pela condição derivada nula, e técnicas de busca de raízes (bisseção, Newton) convergem com alta precisão. Se você apenas avalia jl(x) em pontos espaçados e procura o maior valor, o resultado fica sujeito ao espaçamento do grid e à aproximação grosseira do pico.

Resposta

j1(x): primeiro máximo em xapprox1,4303 j2(x): primeiro máximo em xapprox3,340 j3(x): primeiro máximo em xapprox4,526

Exercícios de Livros Relacionados