11.7.27 Em algumas reações de desnudamento nuclear, a seção de choque diferencial é proporcional a j_{l}(x)^{2}, em que l é o momento angular. A localização do máximo sobre a curva de dados experimentais permite uma determinação de l, se a localização do (primeiro) máximo de j_{l}(x) for conhecida. Calcule a localização do primeiro máximo de j_{1}(x), j_{2}(x) e j_{3}(x).
Nota: Para melhor precisão, procure o primeiro zero de j_{l}^{\prime}(x). Por que isso é mais preciso do que a localização direta do máximo?

Passo 1

O enunciado quer a posição do primeiro máximo das funções de Bessel esféricas
j_{l}(x) para l=1,2,3. O conteúdo aqui é que máximos de uma função ocorrem quando sua derivada é zero. Portanto, em vez de simplesmente buscar o ponto onde j_{l}(x) atinge valor máximo por inspeção, vamos resolver
j_{l}'(x)=0
para encontrar exatamente o primeiro x>0 que anula a derivada.

Passo 2

Para l=1 temos a forma explícita
j_{1}(x)=\frac{\sin x}{x^2}-\frac{\cos x}{x}.
Calculando a derivada e impondo j_{1}'(x)=0 obtém-se a equação
\tan x = \frac{x^2-2}{2x}\,.
Fazendo um método de busca numérica (por exemplo bisseção ou Newton) para o primeiro x>0, encontra-se
x_{1,\,\max}\approx1{,}4303.

Passo 3

Para l=2 usamos
j_{2}(x)=\Bigl(\frac{3}{x^3}-\frac{1}{x}\Bigr)\sin x-\frac{3}{x^2}\cos x.
Da condição j_{2}'(x)=0 segue
\tan x \;=\;\frac{x^3-9x}{4x^2-9}.
Aplicando um procedimento numérico para achar o primeiro zero dessa equação, obtemos
x_{2,\,\max}\approx3{,}340.

Passo 4

Para l=3 podemos usar a recorrência
j_{3}(x)=\frac{5}{x}\,j_{2}(x)-j_{1}(x),
ou a forma explícita
j_{3}(x)=\Bigl(\frac{15}{x^4}-\frac{6}{x^2}\Bigr)\sin x-\Bigl(\frac{15}{x^3}-\frac{1}{x}\Bigr)\cos x.
A equação j_{3}'(x)=0 leva a
\tan x = \frac{60x-7x^3}{\,x^4-27x^2+60\,}.
Resolvida numericamente para o primeiro x>0, dá
x_{3,\,\max}\approx4{,}526.

Passo 5

Por que buscar o zero de j_{l}'(x) é mais preciso do que achar o “pico” diretamente? Porque o máximo está rigorosamente definido pela condição derivada nula, e técnicas de busca de raízes (bisseção, Newton) convergem com alta precisão. Se você apenas avalia j_{l}(x) em pontos espaçados e procura o maior valor, o resultado fica sujeito ao espaçamento do grid e à aproximação grosseira do pico.

Resposta

j_{1}(x): primeiro máximo em x\approx1{,}4303 j_{2}(x): primeiro máximo em x\approx3{,}340 j_{3}(x): primeiro máximo em x\approx4{,}526

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