11.7.14 Uma esfera oca de raio a (ressonador de Helmholtz) contém ondas sonoras estacionárias. Ache a freqüência mínima de oscilação em termos do raio a e da velocidade do som v. As ondas sonoras satisfazem a equação de onda
\nabla^{2} \psi=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}
e a condição de contorno
\frac{\partial \psi}{\partial r}=0, \quad r=a
Essa é uma condição de contorno de Neumann. O Exemplo 11.7.1 tem a mesma EDP, mas com uma condição de contorno de Dirichlet.
\text { Resposta: } \nu_{\text {mín }}=0,3313 v / a, \quad \lambda_{\text {máx }}=3,018 a \text {. }íá

Passo 1

O enunciado pede a frequência mínima de modos sonoros estacionários numa cavidade esférica de raio a, com velocidade do som v e condição de contorno de Neumann
\frac{\partial \psi}{\partial r}\Big|_{r=a}=0.
Vamos separar variáveis na equação de onda
\nabla^2\psi=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}
assumindo solução harmônica \psi(r,\theta,\varphi,t)=u(r,\theta,\varphi)e^{-i\omega t}, o que leva à equação de Helmholtz
\nabla^2 u + k^2 u=0,\quad k=\frac{\omega}{v}.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, escrevemos u(r,\theta,\varphi)=R_{l}(r)\,Y_{lm}(\theta,\varphi). O fator radial satisfaz
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r^2\frac{dR_l}{dr}\Bigr)-\frac{l(l+1)}{r^2}R_l + k^2 R_l=0,
cuja solução regular em r=0 é
R_l(r)=A\,j_l(kr),
onde j_l é a função de Bessel esférica de ordem l.

Passo 3

A condição de Neumann em r=a exige
R_l'(a)=0\;\Longrightarrow\;j_l'(ka)=0.
Para cada l surgem infinitas raízes x_{l,n} de j_l'(x)=0. A menor frequência corresponde ao menor valor positivo de k a entre todas as ordens l.

Passo 4

Verificamos as duas primeiras ordens:
- Para l=0, j_0(x)=\frac{\sin x}{x} e
j_0'(x)=0\;\Longrightarrow\;x\cos x-\sin x=0\;\bigl(\tan x=x\bigr),
cuja menor raiz não nula é x_{0,1}\approx4,4934.
- Para l=1, usa-se a identidade j_1'(x)=j_0(x)-\tfrac{2}{x}j_1(x). A menor raiz de j_1'(x)=0 é
x_{1,1}\approx2,082.
Como 2,082<4,4934, o modo \,l=1 dá a menor frequência.

Passo 5

O menor número de onda é
k_{\min}=\frac{x_{1,1}}{a}\approx\frac{2,082}{a},
logo a frequência mínima vale
\nu_{\min}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{v\,k_{\min}}{2\pi} =\frac{v}{2\pi}\,\frac{2,082}{a}\approx0,3313\,\frac{v}{a}.
O comprimento de onda máximo no modo fundamental é
\lambda_{\max}=\frac{2\pi}{k_{\min}} \approx\frac{2\pi}{2,082}\,a\approx3,018\,a.

Resposta

\displaystyle \nu_{\min}=0,3313\,\frac{v}{a},\quad \lambda_{\max}=3,018\,a.

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