11.7.14 Uma esfera oca de raio (ressonador de Helmholtz) contém ondas sonoras estacionárias. Ache a freqüência mínima de oscilação em termos do raio e da velocidade do som . As ondas sonoras satisfazem a equação de onda
e a condição de contorno
Essa é uma condição de contorno de Neumann. O Exemplo 11.7.1 tem a mesma EDP, mas com uma condição de contorno de Dirichlet.
Passo 1
O enunciado pede a frequência mínima de modos sonoros estacionários numa cavidade esférica de raio , com velocidade do som e condição de contorno de Neumann
Vamos separar variáveis na equação de onda
nabla^2psi=1v^2partial^2psipartial t^2
assumindo solução harmônica psi(r,theta,phi,t)=u(r,theta,phi)e^-iomega t, o que leva à equação de Helmholtz
nabla^2 u + k^2 u=0, k=omegav
Passo 2
Em coordenadas esféricas, escrevemos u(r,theta,phi)=Rl(r),Ylm(theta,phi). O fator radial satisfaz
1r^2ddr!l(r^2dRldrr)-l(l+1)r^2Rl + k^2 Rl=0,
cuja solução regular em r=0 é
Rl(r)=A,jl(kr),
onde jl é a função de Bessel esférica de ordem l.
Passo 3
A condição de Neumann em r=a exige
Rl'(a)=0;Longrightarrow;jl'(ka)=0
Para cada l surgem infinitas raízes xl,n de jl'(x)=0. A menor frequência corresponde ao menor valor positivo de k a entre todas as ordens l.
Passo 4
Verificamos as duas primeiras ordens:
- Para l=0, j0(x)=sin xx e