11.7.14 Uma esfera oca de raio a (ressonador de Helmholtz) contém ondas sonoras estacionárias. Ache a freqüência mínima de oscilação em termos do raio a e da velocidade do som v. As ondas sonoras satisfazem a equação de onda
nabla^2 psi=1v^2 partial^2 psipartial t^2
e a condição de contorno
partial psipartial r=0, r=a
Essa é uma condição de contorno de Neumann. O Exemplo 11.7.1 tem a mesma EDP, mas com uma condição de contorno de Dirichlet.
Resposta: nu mín =0,3313 v / a, lambda máx =3,018 a íá

Passo 1

O enunciado pede a frequência mínima de modos sonoros estacionários numa cavidade esférica de raio a, com velocidade do som v e condição de contorno de Neumann
partial psipartial r|r=a=0
Vamos separar variáveis na equação de onda
nabla^2psi=1v^2partial^2psipartial t^2
assumindo solução harmônica psi(r,theta,phi,t)=u(r,theta,phi)e^-iomega t, o que leva à equação de Helmholtz
nabla^2 u + k^2 u=0, k=omegav

Passo 2

Em coordenadas esféricas, escrevemos u(r,theta,phi)=Rl(r),Ylm(theta,phi). O fator radial satisfaz
1r^2ddr!l(r^2dRldrr)-l(l+1)r^2Rl + k^2 Rl=0,
cuja solução regular em r=0 é
Rl(r)=A,jl(kr),
onde jl é a função de Bessel esférica de ordem l.

Passo 3

A condição de Neumann em r=a exige
Rl'(a)=0;Longrightarrow;jl'(ka)=0
Para cada l surgem infinitas raízes xl,n de jl'(x)=0. A menor frequência corresponde ao menor valor positivo de k a entre todas as ordens l.

Passo 4

Verificamos as duas primeiras ordens:
- Para l=0, j0(x)=sin xx e
j0'(x)=0;Longrightarrow;xcos x-sin x=0;l(tan x=xr),
cuja menor raiz não nula é x0,1approx4,4934.
- Para l=1, usa-se a identidade j1'(x)=j0(x)-tfrac2xj1(x). A menor raiz de j1'(x)=0 é
x1,1approx2,082
Como 2,082<4,4934, o modo ,l=1 dá a menor frequência.

Passo 5

O menor número de onda é
kmin=x1,1aapprox2,082a,
logo a frequência mínima vale
numin=omega2pi=v,kmin2pi =v2pi,2,082aapprox0,3313,va
O comprimento de onda máximo no modo fundamental é
lambdamax=2pikmin approx2pi2,082,aapprox3,018,a

Resposta

numin=0,3313,va, lambdamax=3,018,a

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